Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lào Cai
Trong một buổi sáng đầu năm mới, tỉnh Lào Cai đã tổ chức một sự kiện quan trọng dành cho các học sinh trung học phổ thông xuất sắc môn Toán. Vào ngày 18 tháng 01 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán cho năm học 2020 – 2021.
Đề thi được thiết kế với 5 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài kéo dài trong 180 phút, tạo ra một thử thách đáng gờm về sự tập trung và kiên nhẫn. Để đảm bảo tính công bằng và khách quan, các thí sinh không được phép sử dụng tài liệu hay máy tính cầm tay trong quá trình làm bài.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện năng lực toán học của mình mà còn là cơ hội để họ được ghi nhận và tôn vinh. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được trao tặng danh hiệu “Học sinh giỏi” và có cơ hội tham gia các kỳ thi cấp cao hơn, mở ra nhiều triển vọng tương lai đầy hứa hẹn.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lào Cai
Câu 1. (5,0 điểm)
a) Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f^{\prime}(x)=-(x+2)(x-4)^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=f\left(x^2-3 x\right)$.
b) Cho hàm số $y=f(x)=(x+2)(x-1)^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\left|f^2(x)-2 f(x)-m\right|$ có 9 điểm cực trị.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải bất phương trình $(2+\sqrt{3})^x-2 \cdot(2-\sqrt{3})^x>1$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\log _2(2 x+m)-2 \log _2 x=x^2-4 x-2 m-1$ có hai nghiệm thực phân biệt.
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ biết $A B=a$, góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C D)$ bằng $60^{\circ}$.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $A B$ và $S C$.
b) Lấy các điểm $M, P$ lần lượt thuộc cạnh $A D, S C$ sao cho $\frac{A M}{A D}=\frac{1}{2}, \frac{S P}{S C}=\frac{3}{5}$. Gọi $N$ là giao điểm của $S D$ với mặt phẳng $(B M P)$. Tính thể tích của khối đa diện $S A B M N P$.
