Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa
Kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học Phổ thông tỉnh Khánh Hòa năm học 2020 – 2021 đã diễn ra vào ngày 03/12/2020. Đề thi gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên 01 trang giấy. Thời gian dành cho các thí sinh hoàn thành bài thi là 180 phút, tương đương với 03 giờ.
Đề thi này được xây dựng bởi Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa, nhằm tìm kiếm và tôn vinh những học sinh xuất sắc trong lĩnh vực Toán học. Các bài toán được thiết kế để kiểm tra kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh, đồng thời khám phá tư duy sáng tạo và khả năng tư duy logic của họ.
Với thời gian làm bài hạn chế, các thí sinh phải thể hiện sự nhanh nhạy, tập trung cao độ và vận dụng linh hoạt kiến thức đã học. Đây là một thử thách lớn đối với các học sinh, nhưng cũng là cơ hội để họ khẳng định năng lực và đam mê với môn Toán.
Kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh là bước đệm quan trọng để các học sinh tiếp tục chinh phục những đấu trường lớn hơn, như kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đây cũng là dịp để các em được giao lưu, học hỏi và trau dồi thêm kiến thức từ các bạn đồng trang lứa.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa
Câu 1 ( 6,00 điểm):
a) Giải các phương trình: $\quad 1 / \sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}=1 . \quad 2 / \sqrt{3} \sin 4 x+\cos 4 x-4 \sin 2 x=1$.
b) Một bài thi Đánh giá năng lực theo hình thức trắc nghiệm có 100 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng và 3 phương án sai. Với mỗi câu hỏi, người làm bài thi chỉ được chọn một phương án, nếu chọn đúng được 1,0 điểm, chọn sai bị trừ 0,25 điểm. Một học sinh làm bài được 100 câu bằng cách: với mỗi câu hỏi, học sinh đó chọn ngẫu nhiên một phương án. Tính xác suất để học sinh đó được 60 điểm.
Câu 2 (4,00 điểm): Cho hàm số $y=2 x^3-3 m x^2+m^2$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$ và đường thẳng $(\Delta)$ có phương trình $y=2 x+m^2$ ( $m$ là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left(C_m\right)$ cắt ( $\triangle$ ) tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $B$ là trung điểm của $A C$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $\left(C_m\right)$ cắt đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=4$ tại hai điểm $E, F$ sao cho $E F=2 \sqrt{3}$.
Câu 3 (4,00 điểm):
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $y=f^{\prime}(x)$ có đồ thị như hình bên.
a) Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$.
b) Xét chiều biến thiên của hàm số $y=g(x)=f(2 x+1)-4 x^2-4 x$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(1 ;+\infty)$.
