Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hưng Yên
Vào một ngày đáng nhớ trong năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán 12 năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội để các học sinh xuất sắc trong lĩnh vực Toán học được thể hiện tài năng và nỗ lực của mình.
Đề thi được thiết kế một cách chuyên nghiệp và khắt khe, gồm 06 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Thời gian làm bài là 180 phút, không tính thời gian giám thị coi thi phát đề, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy logic và sự kiên trì của mình.
Điều đáng chú ý là đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết, cho phép các thí sinh và giáo viên hướng dẫn có thể tham khảo và học hỏi từ những cách giải đúng đắn và hiệu quả. Điều này không chỉ giúp nâng cao kiến thức và kỹ năng của các học sinh mà còn thúc đẩy sự phát triển của giáo dục Toán học tại tỉnh Hưng Yên.
Kỳ thi này là một minh chứng cho sự nỗ lực không ngừng của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên trong việc tạo ra một môi trường học tập thách thức và phát triển tài năng cho các học sinh. Nó cũng là một cơ hội để các em học sinh giỏi được khẳng định vị trí của mình và tiếp tục theo đuổi đam mê với Toán học.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hưng Yên
Câu I ( 6,0 điểm).
1. Cho hàm số $y=x^3+m x^2+1$ có đồ thị $\left(C_m\right)$. Tìm các giá trị của tham số $\mathrm{m}$ để đường thẳng $(d): y=1-x$ cắt đồ thị $\left(C_m\right)$ tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị $\left(C_m\right)$ tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau.
2. Cho hàm số $y=\frac{(x+1)^2}{x+2}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là các điểm cực trị của $(C)$ với $x_1<x_2$. Tìm điểm $M$ trên trục tung sao cho $T=2 M A^2-M B^2+|2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (4,0 điểm).
1. Giải phương trình: $\frac{1}{2} \log _{1+\sqrt{3}}(2 x+2)=\log _{3+2 \sqrt{3}}(2 x+1)$.
2. Cho các số thực $a, b, c \in[2 ; 8]$ và thỏa mãn điều kiện $a b c=64$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\log _2^2 a+\log _2^2 b+\log _2^2 c$.
Câu III (5,0 điểm).
1. Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình thang cân với $A D=2 a, A B=B C=C D=a$, cạnh $S A$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $S B$ và $N$ là điểm thuộc đoạn $S D$ sao cho $N S=2 N D$. Biết khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(A M N)$ bằng $\frac{6 a \sqrt{43}}{43}$, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $\widehat{A B C}=60^{\circ}$. Đường phân giác của góc $\widehat{A B C}$ cắt $A C$ tại $I$. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $A C$, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh $B C$. Cho miền tam giác $A B C$ và nửa hình tròn trên quay quanh trục $A C$ tạo thành các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_1, V_2$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.
Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm $I=\int \frac{\ln x+1}{\sqrt{x \ln x+1}+1} d x$.
