Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Gia Lai
Vào ngày 13 tháng 12 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi tuyển chọn Học sinh Giỏi (HSG) cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh lớp 12 Trung học Phổ thông (THPT) trong năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được khẳng định và ghi nhận thành tích xuất sắc của mình.
Đề thi HSG Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai soạn thảo được dành riêng cho bảng B, tức là dành cho những học sinh có năng lực và kiến thức Toán học vượt trội. Đề thi gồm 01 trang với 08 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tư duy logic, kiến thức chuyên sâu và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp.
Kỳ thi tuyển chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 THPT năm học 2019 – 2020 tại tỉnh Gia Lai không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được phát hiện và bồi dưỡng. Đây là nơi để các học sinh thể hiện năng lực, đam mê và sự cống hiến cho lĩnh vực Toán học, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao cho đất nước.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Gia Lai
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+3$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d: y=x$ cắt đồ thị $(C)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình sau trên tập số thực $2\left(x^2+1\right) \sqrt{x-1}+8=(5+4 \sqrt{x-1}) x$.
b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $\left\{\begin{array}{l}2019^{y^2-x^2}=\frac{x^2+2020}{y^2+2020} \\ y^2+2 x \sqrt{3 x-1}=9 y-3\end{array}\right.$.
Câu 3 (2,0 điểm). Tìm hệ số chứa $x^{10}$ trong khai triển $f(x)=\left(\frac{1}{4} x^2+x+1\right)^2(x+2)^{3 n}$ với $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $A_n^3+C_n^{n-2}=14 n$.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ có $\sin A+\sin C=2 \sin B$ và $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{C}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$. Chứng minh rằng tam giác $A B C$ đều.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}u_1=2 \\ u_{n+1}=\frac{4 u_n-3}{3 u_n-2}, n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$
Tính $A=\lim \frac{\frac{1}{u_1-1}+\frac{1}{u_2-1}+\cdots+\frac{1}{u_n-1}}{n^2}$.