Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Nai
Vào một ngày đầu năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Trung học Phổ thông (THPT) môn Toán 12 cho năm học 2019 – 2020. Sự kiện này nhằm tôn vinh và khuyến khích các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học, đồng thời tạo cơ hội cho các em học sinh thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai soạn thảo gồm có 01 trang với 06 bài toán tự luận. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, không bao gồm thời gian giám thị coi thi phát đề. Đề thi được thiết kế với mức độ khó cao, đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt.
Ngoài ra, đề thi còn được đính kèm lời giải chi tiết, giúp các thí sinh có thể tự đối chiếu và kiểm tra lại quá trình giải quyết của mình. Điều này không chỉ giúp các em rút ra bài học kinh nghiệm mà còn thúc đẩy tinh thần tự học và khám phá tri thức mới.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai môn Toán 12 năm học 2019 – 2020 đã tạo ra một sân chơi lý thú và thử thách trí tuệ cho các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Sự kiện này góp phần thúc đẩy phong trào học tập và nghiên cứu Toán học tại địa phương, đồng thời khuyến khích tinh thần cầu tiến và sáng tạo trong giới trẻ.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Nai
Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số $y=1+\left(m^2-4\right) x+(4 m-1) x^2-x^3$, với $m$ là tham số.
a) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) Tìm các số thực $m$ để hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=1$.
c) Tìm các số thực $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[-2 ;-1]$ bằng 9
Câu 2. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình $(\sqrt{10}+3)^x+(\sqrt{10}-3)^x=38$.
2) Giải phương trình $\sin 2 x-\cos 2 x+3 \sin x-\cos x-1=0$
Câu 3. (2,0 điểm) Một trang trại xây một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $18,432 \mathrm{~m}^3$ (tính cả thành và đáy bể), biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể được tính theo tổng diện tích của thành (mặt bên ngoài) và đáy bể với giá 800 nghìn đồng $/ \mathrm{m}^2$. Tìm các kích thước của bể để chi phí xây bể là nhỏ nhất và tính gần đúng chi phí đó.
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và $S A$ vuông góc mặt phẳng đáy, $S A=a$. Biết $M, N$ là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh $A B$ và $A D$ sao cho $A M+A N=a$
1) Chứng minh thể tích $S$. $A M C N$ có giá trị không đổi
2) Tính theo $a$ khoảng cách từ $C$ đến $(S M N)$. Chứng minh mặt phẳng $(S M N)$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu 5. (3,0 điểm)
1) Một tổ gồm 8 học sinh là An, Bình, Châu, Dũng, Em, Fin, Giang, Hạnh sẽ cùng đi trên một chuyến bay để dự đợt học tập, tham quan và trải nghiệm ; đại lý dành cho tổ 8 vé máy bay có số ghế là $18 A, 18 B, 18 C, 18 D, 18 E, 18 F, 18 G, 18 H$. Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên một vé. Tính xác suất để có đúng 4 học sinh trong tổ mà mỗi bạn chọn được một vé có chữ của số ghế trùng với chữ đầu của tên mình.
2) Cho $n$ và $k$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $n \geq k$. Chứng minh rằng $C_n^k C_{n+k}^k$ là số chẵn
