Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc đua” trí tuệ đầy gay cấn – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 THPT năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh. Đây chắc chắn sẽ là một “chặng đua” đầy thử thách và kịch tính cho những “tay đua” đam mê Toán học.
“Cuộc đua” này đã chính thức “khởi động” vào ngày 13 tháng 12 năm 2022. Hãy “khởi động động cơ”, “siết chặt dây an toàn” và sẵn sàng “nhấn ga” để bước vào một “hành trình” tri thức đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với sự “tăng tốc” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “về đích” với những thành tích ấn tượng và gặt hái nhiều “chiến thắng” trong “cuộc đua” này.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “tốc độ” và “sức bền” của bản thân, trở thành những “tay đua” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc đua” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần tốc độ”, không ngừng “tăng tốc” và “bứt phá” trên “đường đua” Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Câu 1. (2.5 điểm) Cho hàm số $f(x)=x^3-3(m+1) x^2+3 m(m+2) x-2+m$ (1) (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đến trục hoành bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung.
Câu 2. (2.0 điểm) Biết rằng đồ thị của hàm số $y=x^3-2 x^2-5 x+2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1, x_2, x_3$. Tính giá trị biểu thức:
$$
T=\frac{1}{x_1^2-5 x_1+4}+\frac{1}{x_2^2-5 x_2+4}+\frac{1}{x_3^2-5 x_3+4} \text {. }
$$
Câu 3. (2.5 điểm) Giải phương trình: $\log _3(\tan x)=\log _2(\sqrt{2} \cos x)$.
Câu 4. (2.0 điểm) Cho đa giác đều $(H)$ có 23 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của $(H)$. Tính số tứ giác lập được thỏa mãn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều $(H)$.
Câu 5. (2.5 điểm) Cho hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $\mathrm{m}$ để phương trình: $f\left(3 x-11+4 \sqrt{3-2 x-x^2}\right)+f[m(2 \sqrt{1-x}-\sqrt{3+x})]=0$ có nghiệm duy nhất.
Câu 6. (2.5 điểm) Cho hình chóp đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ và $O$ là tâm của đáy. Gọi $M, N, P$ và $Q$ lần lượt là các điểm đối xứng của $O$ qua các mặt phẳng $(S A B),(S B C),(S C D)$ và $(S D A)$. Tính thể tích của khối chóp S.MNPQ .
Câu 7. (2.0 điểm) Cho hình lăng trụ đều $A B C \cdot A_1 B_1 C_1$ có độ dài cạnh đáy bằng 1 và độ dài cạnh bên lớn hơn độ dài cạnh đáy. Gọi $M$ là trung điểm $C C_1$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left(A C B_1\right)$ và $\left(A_1 B M\right)$ bằng $\alpha$ với $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A_1 B_1 C_1$.
Câu 8. (2.0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $\mathrm{m}$ để phương trình sau có nghiệm: $(4 m-3) \sqrt{x+3}+(3 m-4) \sqrt{1-x}+m-1=0$
