Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)
Trong một ngày thu đẹp trời tại tỉnh Nghệ An, sở Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức một sự kiện quan trọng dành cho các tài năng trẻ. Vào Thứ Tư, ngày 28 tháng 10 năm 2020, kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán năm học 2020 – 2021 đã diễn ra. Đây là một cơ hội để các học sinh xuất sắc trong lĩnh vực Toán học được thể hiện tài năng và nỗ lực của mình.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 do sở GD&ĐT Nghệ An soạn thảo (Bảng A) gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải sử dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài thi là 150 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng của mình trong việc phân tích, lập luận và áp dụng kiến thức Toán học vào các tình huống thực tế.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để khuyến khích và nuôi dưỡng tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Nó thể hiện sự quan tâm và nỗ lực của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An trong việc phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao cho tương lai.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)
Câu 1 (7,0 điểm).
a) Cho phương trình: $\quad \sin x=(\cot x+2 \sqrt{3}) \cos x$.
Hỏi phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(0 ; 2020 \pi)$ ?
b) Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(4 x^2+1\right) x+(y-3) \sqrt{5-2 y}=0 \\ 4 x^2+y^2+2 \sqrt{3-4 x}=m\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R} ; m\right.$ là tham số thực $)$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Một hộp đựng 30 quả cầu được đánh số là các số tự nhiên từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp ra 3 quả cầu. Tính xác suất đề 3 quả cầu được chọn có các số ghi trên đó lập thành một cấp số cộng.
b) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=3, u_{n+1}=u_n^2-2, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh rằng: $5\left(u_1 \cdot u_2 \ldots u_{n-1}\right)^2+4$ là một số chính phương.
Câu 3 (1,5 điểm). Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $2 x+4 y+7 z=2 x y z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y+z$.
