Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Ngãi
Vào ngày 06 tháng 12 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi đã tổ chức một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục: Kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội để các học sinh xuất sắc trong môn Toán được thể hiện năng lực và kiến thức của mình, đồng thời là nơi để các nhà giáo dục tìm kiếm những tài năng trẻ tiềm năng.
Đề thi được biên soạn dưới hình thức tự luận, gồm 05 bài toán khó khăn và phức tạp, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách toàn diện.
Đề thi được trình bày trên 02 trang, với lời giải chi tiết và thang chấm điểm rõ ràng, đảm bảo tính công bằng và minh bạch trong quá trình chấm thi. Điều này phản ánh sự chuyên nghiệp và tính chuyên môn cao của ban ra đề, cũng như sự quan tâm đặc biệt đối với môn Toán – một môn học cốt lõi trong hệ thống giáo dục phổ thông.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Ngãi
Câu 1: (5,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình sau (với $x, y \in \mathbb{R}$ )
$$
\left\{\begin{array}{l}
y+\sqrt{x^2 y+2 x^2+2 y+4}=2 x^2+2 \\
6 y^2+2 y x^2=6 y+x
\end{array} .\right.
$$
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
$$
9.3^{x^2-2 x}+(2 m+11) \cdot 3^{-x^2+2 x-2}-4 m+2=0 \text {. }
$$
Câu 2: (5,0 điểm).
a) Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm $f^{\prime}(x)$ có đồ thị như hình bên. Tìm các điểm cực trị của hàm số $g(x)=\frac{1}{2} f(2 x-1)+x^2-x+2019$.
b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất $0,65 \%$ / tháng. Tính tổng số tiền anh Giàu nhận được khi gửi được 20 tháng.
Câu 3: (5,0 điểm).
Cho hình chóp $S . A B C$ có hai mặt phẳng $(S A B),(S A C)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$, tam giác $A B C$ vuông cân tại $B, S B=a$, góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$ bằng $\alpha$.
a) Tính theo $a$ và $\alpha$ thể tích khối chóp G.ANC với $G$ là trọng tâm tam giác $S B C$, $N$ là trung điểm $B C$.
b) Gọi $M$ là trung điểm $A C$. Tìm giá trị của $\alpha$ để khoảng cách giữa hai đường thẳng $M N, S C$ đạt giá trị lớn nhất.
