Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Vào Thứ Năm, ngày 05 tháng 12 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn đã tổ chức một sự kiện trọng đại trong lĩnh vực giáo dục: Kỳ thi chọn Học sinh Giỏi (HSG) cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh lớp 12 Trung học Phổ thông (THPT) trong năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội quý giá để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được khẳng định và ghi nhận những nỗ lực không ngừng nghỉ của mình.
Đề thi HSG Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn biên soạn được thiết kế hoàn toàn theo dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tư duy logic, kiến thức chuyên sâu và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Đề thi gồm 05 bài toán khó, đòi hỏi sự tập trung cao độ và khả năng tư duy phân tích, tổng hợp của các học sinh. Với chỉ 01 trang đề thi, các thí sinh phải làm việc trong thời gian 180 phút, đủ để thể hiện khả năng ứng biến và kiên trì của mình.
Kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 THPT năm học 2019 – 2020 tại tỉnh Lạng Sơn không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được phát hiện và bồi dưỡng. Đây là nơi để các học sinh thể hiện năng lực, đam mê và sự cống hiến cho lĩnh vực Toán học, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao cho đất nước.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Câu 1 (5 điểm).
a) Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3 m x^2+3\left(m^2-1\right) x+m+2$ đồng biến trên khoảng $(2 ;+\infty)$.
b) Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+4 m^2-2$ có đồ thị $\left(C_m\right)$ và điểm $C(1 ; 4)$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $\left(C_{\mathrm{m}}\right)$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ bằng 4 ?
Câu 2 (5 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực $\mathbb{R}$ :
a) $2 \sqrt{2} \cos 2 x-\sin 2 x \cos \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)-4 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$.
b) $\left\{\begin{array}{l}3 x^2-2 x-5+2 x \sqrt{x^2+1}=2(y+1) \sqrt{y^2+2 y+2} \\ x^2+2 y^2=2 x-4 y+3\end{array}\right.$.
Câu 3 (2 điểm). Có 3 quyển sách Vật lí khác nhau, 4 quyển sách Hóa học khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau được xếp lên một kệ sách hàng ngang. Tính xác suất để hai cuốn sách cùng môn không xếp cạnh nhau.
Câu 4 (6 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết rằng $A B=S D=3 a, A D=S B=4 a$, đường chéo $A C$ vuông góc với mặt phẳng $(S B D)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(A B C D)$ và $K$ là giao điểm của $A C$ và $B D$.
a) Tính theo a thể tích khối chóp $S . A B C D$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B D$ và $S A$.
c) Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $A B$ và $Q$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $S D$. Lấy điểm $G$ sao cho $\overrightarrow{C G}=\frac{25}{16} \overrightarrow{B A}$. Chứng minh rằng $P Q \|(S A G)$.