Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 (chuyên) năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “bản giao hưởng” tri thức tuyệt vời – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 (chuyên) năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế. Đây chắc chắn sẽ là một “buổi hòa nhạc” đầy thử thách và hấp dẫn cho những “nghệ sĩ” đam mê Toán học.
Hãy “cầm” lấy “cây đàn” tri thức và sẵn sàng “chơi” những “nốt nhạc” đầy thử thách. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ “trình diễn” được những “bản nhạc” tuyệt vời và gặt hái nhiều thành công trên con đường chinh phục tri thức.
Điểm đặc biệt của “bản giao hưởng” này là sự dành riêng cho các em học sinh chuyên Toán. Đây sẽ là một “thử thách virtuoso” đầy hấp dẫn, đòi hỏi sự “tài hoa” và kỹ năng “chơi đàn” điêu luyện của các em.
Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “bản giao hưởng” bổ ích và lý thú, giúp các em “luyện tập” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán. Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “âm sắc” riêng của bản thân và trở thành những “nghệ sĩ” Toán học tài ba.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “đam mê nghệ thuật”, không ngừng “sáng tạo” và “biểu diễn” những “giai điệu” mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 (chuyên) năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho dãy số $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2=1 \\ x_{n+1}=x_n^2\left(1+\frac{1}{x_{n-1}}\right), n \geq 2\end{array}\right.$.
a) Chứng minh rằng $x_n \geq 2^{n-2}$ với mọi $n \geq 1$.
b) Tính giới hạn $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\frac{x_n}{3 x_{n+1}+2}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\right]$.
Câu 2: (3,0 điểm)
Tìm tất cả các đa thức khác hằng $P(x), Q(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$$
P\left((Q(x))^2\right)=P(x) \cdot(Q(x))^2, \forall x \in \mathbb{R} \text {. }
$$
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Cho số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên $n$ thỏa mãn điều kiện
$$
2022^n \equiv n+2023(\bmod p) .
$$
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x ; y)$ sao cho $x^4+10 x^2+2^y$ là một số chính phương.
