Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Đề thi Học sinh giỏi môn Toán lớp 12 chuyên cấp tỉnh năm học 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế ra đề gồm 5 bài toán tự luận, được thiết kế để kiểm tra kiến thức và tư duy toán học của học sinh. Thời gian làm bài là 180 phút, tương đương 3 giờ, cho thấy đây là một đề thi khá khó và đòi hỏi sự tập trung cao độ.
Với chỉ một trang giấy, đề thi này đã đan xen các dạng bài tập khác nhau, từ lý thuyết đến ứng dụng, từ đại số đến hình học, từ giải tích đến xác suất thống kê. Mỗi bài toán đều đòi hỏi học sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức đã học, kết hợp với tư duy logic và sáng tạo để giải quyết vấn đề.
Đề thi này không chỉ là một sự kiểm tra kiến thức mà còn là một thách thức lớn đối với khả năng tư duy phân tích, tổng hợp và sáng tạo của học sinh. Những học sinh xuất sắc vượt qua được đề thi này chắc chắn sẽ có một nền tảng vững chắc để tiếp tục con đường chinh phục những đỉnh cao tri thức mới trong tương lai.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Câu 1: (4,0 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_0=0 \\
x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n^2-8}, \quad \forall n \in \mathbb{N}
\end{array} .\right.
$$
a) Chứng minh rằng $\left(x_n\right)$ là một dãy số bị chặn.
b) Đặt $y_n=\sum_{i=0}^n\left|x_{i+1}-x_i\right|$. Chứng minh rằng dãy số $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
Câu 2: (3,0 điểm) Cho số nguyên dương $n$. Xét đa thức $P_n(x)=(x-1)^2(x-2)^2 \ldots(x-n)^2+1$. Tồn tại hay không hai đa thức với hệ số nguyên $Q_n(x), R_n(x)$ khác đa thức hằng sao cho
$$
P_n(x)=Q_n(x) R_n(x), \forall x \in \mathbb{R} ?
$$
Câu 3: (4,0 điểm) Với $p$ là số nguyên dương, đặt $S(p)=\sum_{i=1}^p i^{2022}=1^{2022}+2^{2022}+\ldots+p^{2022}$.
a) Chứng minh $S(7)$ không chia hết cho 7 .
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p(p<2022)$ sao cho $S(p)$ không chia hết cho $p$.
Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B C, C A, A B$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $B C, C A, A B$. Các điểm $X, Y$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $E F$ với các đường thẳng $M N, C I$. Gọi $L$ là điềm chính giữa của cung $\overparen{B C}$ chứa điểm $A$ của đường tròn $(O)$.
a) Chứng minh các đường thẳng $A D, B E, C F$ đồng quy.
b) Chứng minh $B Y \perp C Y$ và $Y$ nằm trên đường thẳng $M P$.
c) Chứng minh đường thẳng $L I$ đi qua trung điểm của đoạn $X Y$.
