Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 THPT năm học 2021-2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn ra đề nhằm thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh khối 12. Đề thi gồm 5 bài toán tự luận với thang điểm 20 điểm và thời gian làm bài 180 phút.
Nội dung đề thi bao gồm các dạng bài toán đa dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách linh hoạt và sáng tạo. Cụ thể, đề thi có bài toán về xác suất với yêu cầu tính xác suất bốc ngẫu nhiên thẻ số chia hết cho các số nguyên tố. Bài toán về lợi nhuận tối đu đưa ra tình huống xác định giá bán sản phẩm để thu được lợi nhuận lớn nhất.
Đề thi cũng có bài toán liên quan đến đường tiệm cận đồ thị, yêu cầu tính toán các đại lượng về độ dài, bán kính đường tròn nội tiếp. Ngoài ra, còn có bài toán về tam giác với các vấn đề cần chứng minh liên quan đến đường cao, đường Euler. Cuối cùng là bài toán về tập hợp số nguyên, tìm số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn một điều kiện nhất định.
Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, được công bố công khai trên các trang web chia sẻ tài liệu giáo dục để học sinh và giáo viên có thể tham khảo, nghiên cứu.
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=x^3+(m-1) x^2+(m+1) x-1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$.
b) Cho hàm số $y=\frac{2 x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Cho $d$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M\left(x_0 ; y_0\right)$, $d$ cắt hai đường tiệm cận của $(C)$ lần lượt tại $A$ và $B$. Tính độ dài $I A, I B$ theo $x_0(I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận) và tìm bán kính lớn nhất của đường tròn nội tiếp tam giác $I A B$.
Câu 2 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình: $4 \sin ^4 x+2 \cos 2 x+\frac{1}{2} \sin 4 x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x$.
b) Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{array}{l}x^3-y^3-9 y^2+x-28 y=30 \\ \sqrt{2-y}+\sqrt{5-x}=2 x-6\end{array}\right.$.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho 2021 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 2021 (mỗi tấm thẻ được đánh duy nhất một số và không có hai thẻ nào có số giống nhau). Các tấm thẻ được úp xuống mặt bàn và không nhìn thấy số trên thẻ. Bốc ngẫu nhiên 1 tấm thẻ, tính xác xuất để số ghi trên tấm thẻ
a) Chia hết cho cả 6 và 15 .
b) Chia hết cho 2 , hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5 .
