Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Thọ
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ biên soạn được thiết kế theo cấu trúc kết hợp giữa phần tự luận và trắc nghiệm khách quan. Phần tự luận bao gồm 4 câu hỏi, chiếm tỷ trọng 8 điểm, trong khi phần trắc nghiệm khách quan gồm 40 câu hỏi, tương đương với 12 điểm. Thời gian dành cho thí sinh hoàn thành bài thi là 180 phút.
Cấu trúc đề thi này được thiết kế nhằm đánh giá toàn diện năng lực của học sinh trong việc vận dụng kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải quyết vấn đề. Phần tự luận yêu cầu học sinh thể hiện khả năng tư duy logic, phân tích và lập luận để giải quyết các bài toán phức tạp. Trong khi đó, phần trắc nghiệm khách quan kiểm tra kiến thức nền tảng và kỹ năng tính toán nhanh của học sinh.
Với thời gian làm bài 180 phút, đề thi này đòi hỏi học sinh phải sắp xếp thời gian hợp lý, quản lý tốt thời gian để hoàn thành cả hai phần tự luận và trắc nghiệm khách quan. Điều này không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng làm việc hiệu quả dưới áp lực thời gian của học sinh.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Thọ
Câu 1 (2,0 điểm).
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3} m x^3-(m-1) x^2+3(m-2) x+\frac{1}{3}$ đồng biến trên $[2 ;+\infty)$.
2. Cho hàm số $y=\frac{2 x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $P(2 ; 5)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y=-x+m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho tam giác $P A B$ đều.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\log \left(\frac{3^x+2^x}{3 x+2}\right)+3^x+2^x-3 x-2=0$.
Câu 3 (3,0 điểm).
1. Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có tất cả các cạnh bằng $a$.
$\mathrm{a}$. Tính góc giữa đường thẳng $A B^{\prime}$ và mặt phẳng $(A B C)$.
b. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A A^{\prime} B, I$ là trung điểm của $B B^{\prime}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $C^{\prime} G$ và $A^{\prime} I$.
2. Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang vuông tại $A, B$, biết $A B=B C=2 a, A D=a$. Tam giác $S B C$ cân tại $S$, tam giác $S C D$ vuông tại $C$. Khoảng cách giữa $S A$ và $C D$ bằng $\frac{4 a}{5}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ đã cho.
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho $S$ là tập tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 .