Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang
Vào một ngày đầu xuân ấm áp của năm 2021, tỉnh Bắc Giang đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán dành cho khối lớp 12. Sự kiện này đánh dấu một cột mốc quan trọng trong hành trình học tập của các học sinh, nơi họ có cơ hội thể hiện kiến thức và tài năng của mình.
Đề thi được thiết kế một cách công phu, kết hợp giữa phần trắc nghiệm và tự luận. Phần trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi, chiếm 14 điểm, đòi hỏi sự nhanh nhạy và kiến thức vững chắc. Trong khi đó, phần tự luận với 3 câu hỏi, chiếm 6 điểm, thử thách khả năng tư duy sâu sắc và logic của các thí sinh.
Với thời gian làm bài 120 phút, các học sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để vượt qua những thách thức mà đề thi đặt ra. Không chỉ là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, kỳ thi này còn là cơ hội để các em khẳng định bản lĩnh và tinh thần học tập của mình.
Sự chuẩn bị chu đáo của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang đã tạo nên một sân chơi công bằng và khách quan, nơi các học sinh có thể thể hiện hết năng lực của mình. Kỳ thi này không chỉ là một cuộc tranh tài về tri thức mà còn là một bước đệm quan trọng cho tương lai của các em học sinh.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang
Câu 1: Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+3\left(m^2-1\right) x-m^3-m$, ( với $m$ là tham số) và điểm $I(2 ;-2)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho tam giác $I A B$ nội tiếp đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{5}$. Tích các phần tử của tập $S$ là
A. $\frac{14}{17}$.
B. $\frac{4}{17}$.
C. $\frac{20}{17}$.
D. $\frac{3}{17}$.
Câu 2: Cho hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. $2 y^{\prime}+x y^{\prime \prime}=\frac{1}{x^2}$.
B. $2 y^{\prime}+x y^{\prime \prime}=-\frac{1}{x^2}$.
C. $2 y^{\prime}+x y^{\prime \prime}=-\frac{4}{x^2}$.
D. $2 y^{\prime}+x y^{\prime \prime}=\frac{2}{x^2}$.
Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và không âm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x) \cdot f^{\prime}(x)=2 x \sqrt{f^2(x)+1}$ và $f(0)=0$. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[1 ; 3]$. Biết rằng giá trị của biểu thức $P=2 M-m$ có dạng $a \sqrt{11}-b \sqrt{3}+c,(a, b, c \in \mathbb{Z})$. Giá trị của $a+b+c$ là
A. 7 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 6 .
Câu 4: Tìm tất cả tham số $m$ để hàm số $y=(m+1) x^3-(2 m-1) x^2+x-1$ đồng biến trên tập $\mathbb{R}$.
A. $-1<m<1$.
B. $m \leq-\frac{5}{2}$.
C. $\frac{-1}{4} \leq m \leq 2$.
D. $\frac{-1}{4} \leq m<2$.
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right): x^2+y^2+z^2=1$, $\left(S_2\right): x^2+(y-4)^2+z^2=4$ và các điểm $A(4 ; 0 ; 0), B\left(\frac{1}{4} ; 0 ; 0\right), C(1 ; 4 ; 0), D(4 ; 4 ; 0)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $\left(S_1\right), N$ là điểm thay đổi trên $\left(S_2\right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=M A+2 N D+4 M N+4 B C$ là
A. $\frac{5 \sqrt{265}}{2}$.
B. $3 \sqrt{265}$.
C. $\frac{7 \sqrt{265}}{2}$.
D. $2 \sqrt{265}$.
