Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bến Tre
Trong nỗ lực thúc đẩy sự xuất sắc học thuật và khuyến khích tinh thần học tập, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bến Tre đã tổ chức Kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 năm học 2018 – 2019. Đây là một sân chơi trí tuệ quan trọng, nhằm tuyển chọn những tài năng xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học từ các trường Trung học Phổ thông trên địa bàn tỉnh.
Đề thi gồm 04 câu tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic một cách sâu sắc trong thời gian 180 phút. Mục đích chính của kỳ thi là hình thành đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh, đại diện cho Bến Tre tại Kỳ thi Học sinh giỏi Toán THPT cấp Quốc gia. Những học sinh đạt thành tích xuất sắc không chỉ được vinh danh mà còn trở thành tấm gương sáng cho phong trào học tập của toàn tỉnh.
Lời giải chi tiết của đề thi được biên soạn một cách công phu bởi tập thể giáo viên nhóm Toán VD – VDC, những chuyên gia giàu kinh nghiệm trong lĩnh vực này. Với sự chuẩn bị chu đáo và chuyên nghiệp, kỳ thi hứa hẹn sẽ là sân chơi trí tuệ đẳng cấp, quy tụ những tài năng Toán học xuất sắc nhất của tỉnh Bến Tre.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bến Tre
Câu 1 (8 điểm).
a) Giải phương trình: $\sqrt{2} \cdot \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{6} \cdot \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(y-2) \cdot \sqrt{x+2}-x \sqrt{y}=0 \\ \sqrt{x+1} \cdot(\sqrt{y}+1)=(y-3)\left(1+\sqrt{x^2+y-3 x}\right)\end{array}\right.$ với $x, y \in \mathbb{R}$.
c) Cho hàm số $y=\frac{x+1}{2 x-1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ của đồ thị $(C)$ biết
$(d)$ cắt trục $O x, O y$ lần lượt tại $A, B$ sao cho $A B=\sqrt{10} \cdot O A$ (với $O$ là gốc tọa độ).
Câu 2 (4 điểm).
a) Bạn An có đồng $x u$ mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{3}$ và bạn Bình có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{2}{5}$. Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên tố cùng nhau, tìm $q-p$.
b) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^2$ trong khai triển nhị thức $\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}\right)^n$ biết rằng $n$ là số nguyên dương thỏa: $C_n^1+2 C_n^2+3 C_n^3+\ldots+(n-1) C_n^{n-1}+n C_n^n=64 n$.
Câu 3 (4 điểm).
a) Trong không gian cho 4 điểm $A, B, C, D$ thỏa mãn $|\overrightarrow{A B}|=3,|\overrightarrow{B C}|=7,|\overrightarrow{C D}|=11,|\overrightarrow{D A}|=9$. Tính $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}$.
b) Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2-3 b \leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}$.
