Đề thi chọn HSG văn hóa cấp cụm môn Toán 12 năm học 2016 – 2017 cụm THPT Lạng Giang – Bắc Giang
Trong năm học 2016 – 2017, Cụm Trung học Phổ thông Lạng Giang – Bắc Giang đã tổ chức kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi văn hóa môn Toán lớp 12 cấp cụm. Đề thi này nhằm mục đích lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để tham gia các kỳ thi cấp cao hơn.
Đề thi bao gồm các bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt. Các bài toán được thiết kế để kiểm tra khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh trong các lĩnh vực như đại số, hình học, giải tích và xác suất thống kê.
Mỗi bài toán đòi hỏi các bước giải quyết chi tiết, sử dụng các phương pháp và kỹ thuật toán học tinh tế. Các thí sinh phải thể hiện khả năng vận dụng kiến thức một cách sáng tạo và linh hoạt để giải quyết các vấn đề phức tạp.
Đề thi này không chỉ là một thử thách về kiến thức mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện tài năng và niềm đam mê với môn Toán. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để đại diện cho Cụm Trung học Phổ thông Lạng Giang – Bắc Giang tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và quốc gia, nơi họ sẽ cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất trên toàn quốc.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG văn hóa cấp cụm môn Toán 12 năm học 2016 – 2017 cụm THPT Lạng Giang – Bắc Giang
Câu 1 (2 điểm) Tìm $m$ để hàm số $f(x)=\frac{x-2}{m x-2}$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 1)$.
Câu 2 (2 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2 x+3}{x+2}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ và đường thẳng $(d): y=-2 x+m$.
Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt đường cong $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho biểu thức $P=k_1^{2017}+k_2^{2017}$ đạt giá trị nhỏ nhất với $k_1=y^{\prime}\left(x_A\right), k_2=y^{\prime}\left(x_B\right)$.
Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình $2 \sqrt{3} \cdot \sin ^3 x+(\cos x+1)(6 \cos x-9)+3 \sin 2 x \cdot \sin x+6=0$.
Câu 4 (2 điểm) Cho $a=\log 196, b=\log 56$. Tính $\log 0.175$ theo $a, b$.
Câu 5 (2 điểm) Giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{2 x^2+6 x y+5 y^2}+5=\sqrt{2 x^2+6 x y+5 y^2+14 x+20 y+25} \\
7^{2 x+5 y-1}=6 \log _7(5 x-5 y-5)+1
\end{array}\right.
$$
