Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hưng Yên
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên là một thách thức đáng kể cho các học sinh giỏi Toán trên địa bàn tỉnh. Với 6 bài toán tự luận và thời gian làm bài 180 phút, đề thi đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức Toán từ lớp 10 đến lớp 12, có khả năng phân tích, tổng hợp và vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải quyết các bài toán.
Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá kỹ năng tư duy logic, khả năng sáng tạo và tính chính xác của học sinh. Các bài toán được thiết kế nhằm thách thức học sinh vượt qua các rào cản và tìm ra các phương pháp giải quyết vấn đề hiệu quả. Việc có lời giải chi tiết kèm theo đề thi cũng là một điểm cộng, giúp học sinh có thể tham khảo và học hỏi thêm các kỹ thuật giải toán từ các bài toán mẫu.
Tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh không chỉ là cơ hội để học sinh thể hiện năng lực của mình mà còn là dịp để các em rèn luyện kỹ năng làm bài thi, quản lý thời gian và áp lực thi cử. Thành công trong kỳ thi này không chỉ mang lại niềm tự hào cá nhân mà còn là bước đệm vững chắc cho các học sinh trong hành trình chinh phục các kỳ thi cấp quốc gia và quốc tế trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hưng Yên
Câu I (5,0 điểm )
1. Cho hàm số $y=\frac{2 x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại giao điểm của nó và đường thẳng $y=2 x+1$.
2. Cho hàm số $y=x^3-3 x^2+(m+1) x-4, m$ là tham số. Tìm các giá trị của $m$ đểđồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm $A\left(\frac{7}{2} ; 1\right)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó lớn nhất.
Câu II (4,0 điểm)
1. Tìm nghiệm dương của phương trình $4^x-2 x-1=\frac{1}{2} \log _2 \frac{(3 x+1) \log _4(3 x+1)}{x}$.
2. Giäi phương trình $2 \sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{3 x}{2}-\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)+\sin x\right]=\frac{1}{2} \sin 2 x+\sin ^2 x$.
Câu III (4,0 điểm)
1. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật với $A B=a, A D=2 a$. Mặt bên $(S A B)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(S A C)$ bằng $\frac{a \sqrt{6}}{3}$. Tính thể tich khối chóp $S . A B C D$ theo $a$.
2. Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có độ dài cạnh đáy bằng $2 a$, góc giữa mặt phẳng $\left(A^{\prime} B C\right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B C$ và $C C^{\prime}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime} M$ và $A N$ theo $a$.
Câu IV (3,0 điểm) Giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x^2-2 y^2-x y+12 x-17 y-15=0 \\
\sqrt{2-x}+\sqrt{6-x-x^2}=y+\sqrt{2 y+5}-\sqrt{y+4} .
\end{array}\right.
$$
