Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình
Vào ngày 11 tháng 09 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình đã tổ chức một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục – kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Trung học Phổ thông môn Toán cho năm học 2019 – 2020. Sự kiện này nhằm tôn vinh và khuyến khích những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, đồng thời tạo ra một sân chơi lành mạnh để các em học sinh có cơ hội thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình soạn thảo gồm 01 trang với 04 bài toán dạng tự luận. Các câu hỏi được thiết kế một cách khéo léo, đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đầy căng thẳng và gay cấn.
Kỳ thi này không chỉ đơn thuần là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, mà còn là một cơ hội để các em học sinh rèn luyện tính kiên trì, sự tập trung và khả năng giải quyết vấn đề. Những kỹ năng này sẽ là nền tảng vững chắc cho sự phát triển trong tương lai của các em, bất kể con đường nào các em lựa chọn.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình
Câu 1. (5.0 điểm)
Tìm $x, y, z$ nguyên thỏa mãn hệ phương trình:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^3-4 x^2-16 x+60=y \\
y^3-4 y^2-16 y+60=z \\
z^3-4 z^2-16 z+60=x
\end{array}\right.
$$
Câu 2. (5.0 điểm)
Xét phương trình: $x^n=x^2+x+1, n \in \mathbb{N}, n>2$.
a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$ lớn hơn 2 phương trình trên có đúng một nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi $x_n$ là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên. Tính $\lim x_n$.
Câu 3. (5.0 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$, đường cao $A D(D$ thuộc $B C)$ và hai điểm $M, N$ lần lượt nằm trên các cạnh $A B, A C$ sao cho $M N$ song song với $B C$. Điểm $P$ chuyển động trên đoạn thẳng $M N$. Lấy các điểm $E, F$ sao cho $E P \perp A C, E C \perp B C, F P \perp A B, F B \perp B C$.
a) Gọi $I$ là giao của $E F$ và $A D$. Chứng minh rằng $I$ cố định khi $P$ chuyển động trên đoạn $M N$.
$\mathrm{b})$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $E F$ cắt $B C$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng $B C$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $P Q$.
Câu 4. (5.0 điểm)
Cho số nguyên dương $n$ và tập hợp $S=\{1 ; 2 ; \ldots ; n\}$. Tìm số các tập con của $S$ không chứa hai số nguyên dương liên tiếp.
