Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hưng Yên
Trong nỗ lực không ngừng nhằm phát hiện và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên đã tổ chức Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 – 2019. Đây là một sân chơi trí tuệ quan trọng, tạo cơ hội để các học sinh giỏi Toán từ các trường THPT trên địa bàn tỉnh Hưng Yên được thể hiện năng lực và tài năng của mình.
Đề thi gồm 06 bài toán tự luận, được thiết kế với mức độ khó khăn và tính phân loại cao, đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài thi là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đầy cam go và kịch tính.
Mục đích chính của kỳ thi này là tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để tuyên dương, khen thưởng và đồng thời thành lập đội tuyển học sinh giỏi Toán tỉnh Hưng Yên. Đội tuyển này sẽ đại diện cho tỉnh Hưng Yên tham dự Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Toán THPT cấp Quốc gia, một sân chơi danh giá hơn nữa để các tài năng trẻ được thể hiện và cọ xát.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hưng Yên
Câu I (5,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=2 x-2-m \sqrt{x^2-4 x+5}$ với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của $m$ để hàm số cực tiểu.
2. Cho hàm số $y=x^4-m x^2+2 m-2(C)$ với $m$ là tham số. Gọi $\mathrm{A}$ là một điểm thuộc đồ thị $(\mathrm{C})$ có hoành độ bằng 1 . Tìm các giá trị của $m$ để tiếp tuyến của đồ thị $(\mathrm{C})$ tại $\mathrm{A}$ cắt đường tròn
(T): $x^2+y^2=4$ tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Câu II (4,0 điểm)
1.Giải phương trình $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{\sin ^2 x}+5^{\cos 2 x}=|x-1|+|x+5|$
2.Tính tích phân $I=\int_0^1 \frac{d x}{x \sqrt{x+1}+(x+1) \sqrt{x}}$
Câu III (5,0 điểm)
1. Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy $\mathrm{ABCD}$ là hình thoi cạnh $2 \mathrm{a}$ và $\widehat{A B C}=60^{\circ}$. Gọi $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\mathrm{SC}, \mathrm{SD}$. Biết $\mathrm{SA}=\mathrm{SC}=\mathrm{SD}$ và mặt phẳng $(\mathrm{ABEF})$ vuông góc với mặt bên (SCD), tính thể tích khối chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ theo a.
2. Cho tứ diện $\mathrm{ABCD}$ có độ dài các cạnh $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=4, \mathrm{AD}=6$ và các góc $\widehat{B A C}=\widehat{B A D}=60^{\circ}, \widehat{C A D}=90^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{CD}$.
Câu IV (2,0 điểm)
Cho đa thức $f(x)=x^4+\mathrm{ax}^3+b x^2+c x+1$ với $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là số thực không âm. Biết rằng $f(x)=0$ có 4 nghiệm thực, chứng minh $f(2018)=2019^4$.
Câu V (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}y^3-y^2-2 y+1=\ln \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+\ln \left(\sqrt{y^2+1}-y\right) \\ x^3-x=y^2+y-1\end{array}\right.$
