Đề thi chọn HSG Toán năm 2019 – 2020 trường THPT Ngô Gia Tự – Phú Yên
Trong bầu không khí tràn đầy quyết tâm và nhiệt huyết của tháng 10 năm 2019, trường Trung Học Phổ Thông Ngô Gia Tự, tỉnh Phú Yên đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT năm học 2019 – 2020. Sự kiện này mang ý nghĩa quan trọng trong việc tuyển chọn những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, đồng thời thành lập đội tuyển tiêu biểu để tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, nơi các em sẽ có cơ hội thể hiện năng lực và đạt được những thành tích cao.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm 2019 – 2020 tại trường THPT Ngô Gia Tự – Phú Yên được thiết kế với 07 bài toán dạng tự luận, đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy logic của các thí sinh. Thời gian làm bài là 150 phút, tạo ra một môi trường thử thách và khắc nghiệt, giúp các em rèn luyện khả năng quản lý thời gian và kiểm soát căng thẳng. Đáng chú ý, đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, giúp các giáo viên và học sinh có thể đánh giá một cách công bằng và khách quan.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán năm 2019 – 2020 trường THPT Ngô Gia Tự – Phú Yên
Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình $x^3+1=2 \sqrt[3]{2 x-1}$.
Câu 2. (2, 0 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Trên hai cạnh $A B$ và $A C$ lần lượt lấy hai điểm $B^{\prime}$ và $C^{\prime}$ sao cho $A B \cdot A B^{\prime}=A C . A C^{\prime}$. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh rằng $A M \perp B^{\prime} C^{\prime}$.
Câu 3. (3,0 điểm) Cho phương trình $\cos 2 x+\sin x+m-3=0$.
a. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0 ; \pi)$.
Câu 4. (4,0 điểm) Cho $f(x)=m x^2+4(m-1) x+m-1$ ( $m$ là tham số).
a. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $f(x)>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $f(x)<0$ với mọi $x \in(0 ; 2)$.
Câu 5. (4,0 điểm) Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}=m \\ x+y=3 m\end{array}\right.$ ( $m$ là tham số).
a. Giải hệ phương trình khi $m=4$.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình có nghiệm.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác $A B C$. Gọi $O$ là điểm tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ $O M, O N$ và $O P$ lần lượt vuông góc với các cạnh $B C, A C$ và $A B$. Chứng minh $\frac{B C}{O M}+\frac{A C}{O N}+\frac{A B}{O P} \geq \frac{2 p}{r}$ trong đó $p$ là nửa chu vi của tam giác $A B C$ và $r$ là bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác $A B C$.
