Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh vòng 2 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Long An
Trong nỗ lực không ngừng tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Long An đã tổ chức một kỳ thi đặc biệt dành cho học sinh giỏi môn Toán trong năm học 2018 – 2019. Kỳ thi này, được chia làm hai đề thi tự luận, diễn ra trong hai ngày liên tiếp 20 và 21 tháng 9 năm 2018, nhằm tuyển chọn những học sinh có năng lực vượt trội trong lĩnh vực Toán học trên địa bàn tỉnh.
Đề thi thứ nhất, gồm 4 bài toán tự luận, được thiết kế để thách thức và đánh giá khả năng giải quyết vấn đề phức tạp của các thí sinh. Trong khuôn khổ 180 phút, các em phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết các bài toán đa dạng và khó khăn, đòi hỏi tư duy logic, sáng tạo và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Ngày hôm sau, đề thi thứ hai với 3 bài toán tự luận tiếp tục thử thách các thí sinh trong thời gian 180 phút. Các bài toán được biên soạn với mức độ khó tăng dần, buộc các em phải vượt qua giới hạn của mình và đạt đến trình độ cao hơn trong việc giải quyết vấn đề.
Mục tiêu chính của kỳ thi là tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học tại tỉnh Long An, những tài năng tiềm năng của ngành. Những học sinh đạt điểm cao nhất sẽ được bồi dưỡng và rèn luyện thêm, chuẩn bị cho các kỳ thi cấp cao hơn trong tương lai.
Cả hai đề thi đều được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm, giúp các thí sinh có thể tự đánh giá và rút ra bài học kinh nghiệm quý báu cho những lần thi sau. Kỳ thi này không chỉ là một cuộc thi tuyển chọn, mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được khám phá, được thử thách và được định hướng phát triển trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh vòng 2 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Long An
Câu 1 (5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 x+y}-x+y=1 \\ \sqrt{2 x+y}+\sqrt{4 x+y}=2\end{array}\right.$.
Câu 2 (5,0 điểm):
Cho hàm số $y=x^4+2 m x^2+3$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị $\left(C_m\right)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho trên đồ thị $\left(C_m\right)$ tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của $\left(C_m\right)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $x-8 y+2018=0$.
Câu 3 (5,0 điểm):
Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $A B C$. Đường thẳng $A I$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M(M$ khác $A)$. Gọi $A A^{\prime}$ là đường kính của $(O)$. Đường thẳng $M A^{\prime}$ cắt các đường thẳng $A H, B C$ theo thứ tự tại $N$ và $K$. Chứng $\operatorname{minh} \widehat{N I K}=90^{\circ}$.
Câu 4 (5,0 điểm):
Cho $K$ là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ $K$. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4 .
