Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng B)
Trong nỗ lực thúc đẩy sự phát triển của các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Quảng Ninh đã tổ chức Kỳ thi Chọn Học Sinh Giỏi (HSG) Toán cấp Trung Học Phổ Thông (THPT) năm 2018. Kỳ thi này diễn ra vào ngày 04 tháng 12 năm 2018, với mục đích tôn vinh và khuyến khích các học sinh xuất sắc trong môn Toán.
Đề thi gồm 06 bài toán tự luận, được thiết kế để thách thức khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề của các thí sinh. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện toàn bộ kiến thức và kỹ năng của mình. Đề thi được chuẩn bị một cách công phu, với lời giải chi tiết và thang điểm rõ ràng, nhằm đảm bảo tính công bằng và khách quan trong quá trình chấm thi.
Trang web hdgmvietnam.org đã chia sẻ đề thi và lời giải chi tiết cho Bảng B của kỳ thi này, cung cấp một nguồn tài liệu quý giá cho các học sinh, giáo viên và những người quan tâm đến lĩnh vực Toán học. Việc công bố đề thi và lời giải không chỉ giúp các học sinh ôn luyện và cải thiện kỹ năng, mà còn thúc đẩy sự minh bạch và trách nhiệm giải trình trong quá trình tổ chức kỳ thi.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng B)
Bài 1 (4 điểm).
1. Cho hàm số $y=x^4+2(\mathrm{~m}+1) x^2+m^2+m-1$, với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.
2. Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích $24\left(\mathrm{~m}^3\right)$. Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng của bể bằng 4 . Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.
Bài 2 (4 điểm).
1. Cho tam giác $A B C$ có cạnh $B C=a, A B=c$ thỏa mãn $\sqrt{2 a-c} \cdot \cos \frac{B}{2}=\sqrt{2 a+c} \cdot \sin \frac{B}{2}$, với $2 a>c$. Chứng minh rằng tam giác $A B C$ là tam giác cân.
2. Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông màu trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng một con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau.
Bài 3 (3 điểm). Cho $x, y$ là các số thực dương, giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
(y+1) \log _4[(x+1)(y+1)]=16-(x-1)(y+1) \\
4 x^2+7 x y-3 x+y^2=99
\end{array}\right.
$$
Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $O x y$, cho hình chữ nhật $A B C D, A B=2 A D$. Điểm $N$ thuộc cạnh $A B$ sao cho $A N=\frac{1}{4} A B, M$ là trung điểm của $D C$. Gọi $I$ là giao điểm của $M N$ và $B D$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $B I N$. Biết điểm $A(2 ; 1)$, đường thẳng $B D$ có phương trình $11 x-2 y+5=0$, điểm $B$ có hoành độ là số nguyên.
Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng B)
