Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng A)
Trong nỗ lực thúc đẩy và phát triển tài năng Toán học của học sinh, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh dành cho khối THPT năm học 2018 – 2019. Sự kiện quan trọng này đã diễn ra vào sáng ngày 04 tháng 12 năm 2018, tạo ra một sân chơi lành mạnh và công bằng cho các học sinh xuất sắc thể hiện năng lực và đam mê của mình đối với môn Toán.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 của Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh (Bảng A) gồm 1 trang duy nhất, bao gồm 6 bài toán tự luận. Các bài toán này được thiết kế nhằm đánh giá và thách thức khả năng vận dụng kiến thức, tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp của học sinh.
Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tương đương với 3 giờ, không bao gồm thời gian phát đề. Điều này nhằm đảm bảo học sinh có đủ thời gian để suy nghĩ, phân tích và trình bày lời giải một cách chi tiết và chính xác.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh này có mục đích tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để tham gia các vòng thi cấp cao hơn, đồng thời khuyến khích và thúc đẩy sự phát triển năng lực Toán học của học sinh trên toàn tỉnh Quảng Ninh.
Việc tổ chức kỳ thi này không chỉ tạo ra một sân chơi lành mạnh và công bằng cho học sinh thể hiện năng lực, mà còn góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học tại địa phương. Đề thi được thiết kế với mục tiêu đánh giá và phát triển tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề phức tạp của học sinh, qua đó thúc đẩy quá trình học tập và phát triển năng lực Toán học của họ.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng A)
Bài 1 (4 điểm).
1. Cho hàm số $y=x^4-2 m x^2+2 m-1$, với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông.
2. Nhà bạn An muốn đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được $400000\left(\mathrm{~cm}^3\right)$ nước. Biết rằng chiều cao của bể gấp 2 lần chiều rộng của bể. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.
Bài 2 (3 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{y^2} \log \frac{100 x}{y^2}=1-\frac{x-2}{y^2} \\ \sqrt{x y-2}=\sqrt[3]{x-1}+y\end{array}\right.$
Bài 3 (4 điểm).
1. Cho tam giác $A B C$ không có góc vuông và có các cạnh $B C=a, C A=b, A B=c$. Chứng minh rằng nếu $a^2+b^2=2 c^2$ và $\tan A+\tan C=2 \tan B$ thì $\triangle A B C$ là tam giác đều.
2. Trong cuộc thi văn nghệ do Đoàn thanh niên trường THPT X tổ chức vào tháng 11 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó: có 4 tiết mục khối 12 , có 5 tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10 . Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 20 tháng 11 (không tính thứ tự biểu diễn). Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12 .
Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $O x y$, cho tam giác $A B C$ có 3 góc đều nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C ; M, N, P$ lần lượt là giao điểm của $A H, B H, C H$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $A B C$, biết $M\left(-\frac{16}{9} ;-\frac{5}{9}\right) ; N\left(-\frac{7}{8} ; \frac{5}{4}\right) ; P\left(-\frac{1}{3} ; \frac{1}{6}\right)$.