Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Trong nỗ lực thúc đẩy sự phát triển của giáo dục và tạo điều kiện cho các tài năng trẻ được bồi dưỡng, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức kỳ thi chọn Học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học Phổ thông (THPT) cho năm học 2019 – 2020. Đề thi này, được hdgmvietnam.org giới thiệu, bao gồm 10 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết trong thời gian 180 phút.
Với mục đích tạo cơ hội cho các học sinh xuất sắc thể hiện năng lực và đam mê với môn Toán, đề thi này đã được thiết kế một cách công phu và khắt khe. Các bài toán không chỉ kiểm tra kiến thức nền tảng mà còn đòi hỏi khả năng suy luận, phân tích và áp dụng các nguyên lý toán học vào các tình huống thực tế. Điều này nhằm khuyến khích sự sáng tạo và tư duy phản biện trong quá trình học tập của học sinh.
Bằng việc công bố đề thi này, hdgmvietnam.org mong muốn tạo cơ hội cho giáo viên và học sinh có thể tham khảo, nghiên cứu và chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi tương tự trong tương lai. Đồng thời, nó cũng thể hiện cam kết của ngành giáo dục trong việc nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là trong lĩnh vực Toán học – một môn học quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Câu 1. Cho hàm số $y=x^3-3 x^2-m x+2$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $\left(C_m\right)$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng $y=x-1$.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{\cot x-2}{-\cot x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$
Câu 3. Giải phương trình: $8 \sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}$.
Câu 4. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=\ln \left(n^2+2 n\right),\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$. Tính lim $S_n$ biết $S_n=\left(\frac{1}{e}\right)^{u_1}+\left(\frac{1}{e}\right)^{u_2}+\ldots+\left(\frac{1}{e}\right)^{u_n}$
Câu 5. Giải phương trình: $\sqrt{x+4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{12-x-x^2}=x-1+\sqrt{2 x+5}$.
Câu 6. Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50 . Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8 .
Câu 7. Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, A A^{\prime}=a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trung điểm cạnh $A B$. Gọi $I$ là trung điểm của $A^{\prime} C$, điểm $S$ thỏa mãn $\overrightarrow{I B}=2 \overrightarrow{S I}$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S \cdot A A^{\prime} B^{\prime} B$.
Câu 8. Cho tứ diện $A B C D$ có $G$ là trọng tâm tam giác $B C D$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $I$ của $A G$ và cắt các đoạn $A B, A C, A D$ tại các điểm khác $A$. Gọi $h_A, h_B, h_C, h_D$ lần lượt là khoảng cách từ các điểm $A, B, C, D$ đến mặt phẳng $(P)$. Chứng minh rằng: $\frac{h_B^2+h_C^2+h_D^2}{3} \geq h_A^2$.
