Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Trong hành trình không ngừng nâng cao chất lượng giáo dục và phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc đã biên soạn một đề thi đặc biệt dành cho kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Trung học Phổ thông năm học 2018 – 2019. Đề thi này được thiết kế với mục đích tuyển chọn những tài năng xuất sắc trong lĩnh vực Toán học để tiếp tục bồi dưỡng và phát triển tiềm năng của họ.
Đề thi gồm 10 bài toán tự luận, yêu cầu thí sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sâu sắc và toàn diện. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo ra một thử thách đáng kể cho các học sinh tham gia, đòi hỏi sự kiên trì, tập trung và khả năng quản lý thời gian hiệu quả.
Kỳ thi quan trọng này đã diễn ra vào ngày 27 tháng 11 năm 2018, thu hút sự tham gia của những học sinh xuất sắc nhất từ các trường Trung học Phổ thông trên khắp tỉnh Vĩnh Phúc. Để đảm bảo tính công bằng và minh bạch, đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết, giúp các thí sinh có thể tự đánh giá và rút ra những bài học quý giá.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc không chỉ là một sân chơi để khám phá và tôn vinh tài năng, mà còn thể hiện cam kết mạnh mẽ trong việc nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao cho tỉnh nhà.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Câu 1. Cho hàm số $y=x^4-14 x^2+20 x+4$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta: y=-4 x+15$.
Câu 2. Giải phương trình $(2 \cos x-1)(2 \sin x+\cos x)+\sin x=\sin 2 x$
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{4}{3} x^3+\frac{3}{2}(m+1) x^2+3 m x-m^2$ đồng biến trên khoảng $(-1 ;+\infty)$.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\left|x^3-3 x^2+m-2\right|$ có đúng năm điểm cực trị.
Câu 5. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=\ln \left[1-\frac{1}{(n+1)^2}\right],\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$. Tính giá trị của biểu thức $H=2019 \cdot e^{u_1} \cdot e^{u_2} \ldots e^{u_{2118}}$
Câu 6: Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 11 và ba học sinh lớp 10 ngồi vào một hàng ngang gồm 10 ghế được đánh số từ 1 đến 10 . Tính xác suất để không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau.
Câu 7: Cho hai đường thẳng $A x, B y$ chéo nhau, vuông góc và nhận đoạn $A B$ làm đoạn vuông góc chung. Hai điểm $M, N$ lần lượt di động trên $A x, B y$ sao cho $A M+B N=M N$. Gọi $O$ là trung điển của đoạn $A B$. Chứng minh tam giác $O M N$ là tam giác tù và khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $M N$ không đổi khi $M, N$ khi di động trên $A x, B y$.
Câu 8: Cho tứ diện $A B C D$ và các điểm $M, N, P$ lần lượt thuộc các cạnh $B D, B C, A C$ sao cho $B D=2 B M, B C=4 B N, A C=3 A P$. Mặt phẳng $(M N P)$ cắt $A D$ tại $Q$. Tính tỷ số thể tích hai phần của khối tứ diện $A B C D$ được chia bởi $(M N P)$.
