Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 của Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc là một thử thách đáng kể cho các học sinh giỏi toán của tỉnh. Với 10 bài toán tự luận và thời gian làm bài 180 phút, đề thi đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, có tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề nhanh chóng.
Các bài toán trong đề thi bao gồm nhiều chủ đề khác nhau như đại số, hình học, giải tích và xác suất thống kê. Mỗi bài toán đều có độ khó khác nhau, yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tìm ra lời giải. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề của học sinh.
Một điểm đặc biệt của đề thi là có kèm theo lời giải chi tiết cho từng bài toán. Điều này giúp học sinh có thể tham khảo và học hỏi thêm các phương pháp giải khác nhau, từ đó nâng cao kỹ năng giải toán của bản thân. Lời giải chi tiết cũng là tài liệu tham khảo quý giá cho các thầy cô giáo trong việc hướng dẫn và ôn tập cho học sinh.
Tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT là cơ hội để học sinh khẳng định năng lực của mình, đồng thời cũng là động lực để các em tiếp tục học tập và rèn luyện. Thành công trong kỳ thi này không chỉ mang lại niềm tự hào cá nhân mà còn là vinh dự cho gia đình và trường học.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Câu 1 (1.0 điểm). Cho hàm số $y=\frac{1}{4} x^4-2 x^2+1$ có đồ thị là $(C)$. Tỉnh diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị $(C)$.
Câu 2 (1.0 điểm). Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x+2}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y=-2 x+m-1(m$ là tham số thực). Chứng minh rằng với mọi $m$, đường thẳng $d$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Gọi $k_1, k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $(C)$ tại $A$ và $B$. Xác định $m$ để biểu thức $P=\left(3 k_1+1\right)^2+\left(3 k_2+1\right)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (1.0 điểm). Cường độ động đất $M$ được cho bởi công thức $M=\log A-\log A_0$ trong đó $A$ là biên độ rung chấn tối đa, $A_0$ là biên độ chuẩn (hằng số). Một trận động đất ở Xan Phranxixcô có cường độ 8 độ richter, trong cùng năm đó một trận động đất khác ở gần đó đo được cường độ là 6 độ richter. Hỏi trận động đất ở Xan Phranxixcô có biên độ rung chấn tối đa gấp bao nhiêu lần biên độ rung chấn tối đa của trận động đất kia?
Câu 4 (1.0 điểm). Cho hàm số $f(x)=e^{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}} \quad(x>0)$. Tính $f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \ldots f(2017)$.
Câu 5 (1.0 điểm). Giải phương trình: $\sin 3 x+2 \cos ^2 x=1$.
Câu 6 (1.0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi tâm $O, A C=2 \sqrt{3} a, B D=2 a$; hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$. Tính thề tích khối chóp $S . A B C$ theo $a$.
