Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Vào một ngày cuối năm đầy ý nghĩa, ngày 25 tháng 12 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 12 THPT trong năm học 2021 – 2022. Đây là một sự kiện quan trọng, nơi các tài năng trẻ có cơ hội thể hiện kiến thức và tài năng của mình trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc soạn thảo gồm 10 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy duy nhất. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, không bao gồm thời gian phát đề. Điều này đòi hỏi các thí sinh phải có sự tập trung cao độ, khả năng tư duy logic và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.
Với cấu trúc đề thi này, các học sinh giỏi Toán sẽ có cơ hội thể hiện sự am hiểu sâu sắc về các khái niệm và lý thuyết Toán học, cũng như khả năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các tài năng trẻ thể hiện năng lực, mà còn là một cơ hội để họ được khích lệ, trau dồi và phát triển niềm đam mê với Toán học.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{m x+25}{x+m}$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 10)$.
Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{1}{3} x^3-m x^2+\left(m^2-1\right) x$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ đề đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho $A, B$ cách đều đường thẳng $d: y=5 x-9$.
Câu 3. Giải phương trình $\sqrt{3}(1-\cos 2 x)+\sin 2 x-4 \cos x+8=4(\sqrt{3}+1) \sin x$.
Câu 4. Cho $f(x)=\log _2\left(\frac{x}{1-x}\right)$. Tính $S=f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2}{2021}\right)+\ldots+f\left(\frac{2019}{2021}\right)+f\left(\frac{2020}{2021}\right)$.
Câu 5. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1 \\ x \sqrt{6 x-2 x y+1}=4 x y+6 x+1\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 6. Cho tập hợp $E=\left\{10,10^2, 10^3, \ldots, 10^{20}\right\}$. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp $E$, giả sử hai số được lấy ra là $x$ và $y$ (với $x<y$ ). Tính xác suất để $\log _x y$ là một số nguyên.
Câu 7. Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A$ vuông góc với mặt đáy, $A B C D$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $A C$. Gọi hai điểm $M, N$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên hai đường thẳng $S B$ và $S D$. Biết $S A=a, B D=a \sqrt{3}$ và $\widehat{B A D}=60^{\circ}$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A M N)$ và $(A B C D)$
