Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị
Gần đây, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Lê Quý Đôn, trực thuộc Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Quảng Trị, đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh cho năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được phát hiện và tôn vinh trên phạm vi toàn tỉnh.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 của trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị gồm một trang với năm bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho kỳ thi này là 150 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng của mình trong môn Toán học. Đáng chú ý, đề thi này cũng đi kèm với hướng dẫn giải, giúp các thầy cô giáo và học sinh có thể tự đánh giá và rút ra những kinh nghiệm quý báu.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để khuyến khích và nuôi dưỡng niềm đam mê học tập của các em học sinh trong lĩnh vực Toán học. Nó thúc đẩy sự cạnh tranh lành mạnh và tạo ra một môi trường học tập năng động, nơi các tài năng trẻ có thể phát triển và được khích lệ theo đuổi ước mơ của mình trong lĩnh vực Toán học trên phạm vi toàn tỉnh Quảng Trị.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị
Câu 1 (6 điểm).
a) Giải phương trình $(x-2)^2+\sqrt{x+6}=67+\sqrt{11-x}$
b) Từ các chữ số $0,3,4,5,6,7,8,9$ lập được bao nhiêu số chẵn, có ba chữ số khác nhau.
Câu 2 (4 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho hình vuông $\mathrm{ABCD}$ và các điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ thỏa mãn: $\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0} ; 2 \overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{0}$
a) Chứng minh tam giác $\mathrm{BMN}$ vuông cân.
b) Tìm tọa độ điểm $\mathrm{A}$, biết $\mathrm{N}(2 ; 2)$, đường thẳng $\mathrm{BM}$ có phương trình $x-2 y-3=0$ và điểm $\mathrm{A}$ có hoành độ nhỏ hơn 2 .
Câu 3 (4 điểm).
a) Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c \geq 1$. Chứng minh rằng
$$
a^4+b^4+c^4 \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}
$$
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: $f(x)=x\left(10+\sqrt{12-x^2}\right)$
Câu 4 (4 điểm).
Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABC}$, có $\mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}$ và đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền $\mathrm{AB}=a \sqrt{2}$. Mặt bên $(\mathrm{SBC})$ hợp với mặt đáy một góc $\varphi$ sao cho $\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{13}}$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABC}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{SC}$.
Câu 5 (2 điểm).
Tìm tất cả các hàm số $f:(0,+\infty) \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn đẳng thức
$$
f(x+y)+f(x y)=x+y+x y, \forall x, y \in(0 ;+\infty)
$$
