Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai
Trong nỗ lực tôn vinh và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai đã tổ chức Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019. Sự kiện quan trọng này diễn ra vào ngày 18 tháng 01 năm 2019, nhằm tuyển chọn những học sinh giỏi Toán đang theo học chương trình chuyên tại các trường trên địa bàn tỉnh.
Đề thi được thiết kế với cấu trúc đặc biệt, bao gồm 05 bài toán tự luận, yêu cầu học sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sâu sắc và toàn diện. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo cơ hội cho các em học sinh thể hiện khả năng tư duy logic, sáng tạo và kiên trì trong quá trình giải quyết các bài toán phức tạp.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn mang ý nghĩa quan trọng trong việc tuyển chọn và tôn vinh những học sinh xuất sắc nhất. Những em đạt thành tích cao sẽ được tuyên dương, khen thưởng và tiếp tục được bồi dưỡng để thành lập đội tuyển học sinh giỏi Toán tỉnh Đồng Nai, đại diện cho địa phương tại Kỳ thi học sinh giỏi Toán chuyên cấp Quốc gia.
Sự kiện này không chỉ thể hiện sự quan tâm và nỗ lực của ngành Giáo dục tỉnh Đồng Nai trong việc phát hiện và bồi dưỡng tài năng trẻ, mà còn góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học tại địa phương. Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 là cơ hội để các em học sinh thể hiện đam mê, nỗ lực và khả năng vượt trội trong môn Toán, đồng thời khích lệ tinh thần học tập và nghiên cứu khoa học trong cộng đồng học sinh.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai
Bài 1. (5 điểm)
1) Chứng minh rằng phương trình $-x=\sqrt[3]{x^2-6 x+3}$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt $x_1, x_2, x_3$. Tính giá trị của biểu thức
$$
T=\left(x_1^3+x_1^2+9\right)\left(x_2^3+x_2^2+9\right)\left(x_3^3+x_3^2+9\right) .
$$
2) Cho hai hàm số $y=x^3+x^2-3 x-1, y=2 x^3+2 x^2-m x+2$ có đồ thị lần lượt là $\left(C_1\right)$, $\left(C_2\right)$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$ cắt tại ba điểm phân biệt có tung độ là $y_1, y_2, y_3$ thỏa mãn
$$
\frac{1}{y_1+4}+\frac{1}{y_2+4}+\frac{1}{y_3+4}=\frac{2}{3} .
$$
Bài 2. (3 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c \geq a b c$. Chứng minh rằng
$$
a^2+b^2+c^2 \geq a b c
$$
Bài 3. (4 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=x_2=1$ và $x_n \cdot x_{n+2}=x_{n+1}^2+3 \cdot(-1)^{n-1}$.
1) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy $\left(x_n\right)$ đều là số nguyên.
2) Tính $\lim \frac{x_{n+1}}{x_1+x_2+\ldots+x_n}$.
