Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận
Trong quá trình tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Thuận đã soạn thảo một đề thi đặc biệt, bao gồm năm bài toán tự luận đòi hỏi sự vận dụng sâu rộng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của các thí sinh.
Các bài toán trong đề thi này được thiết kế nhằm kiểm tra khả năng tư duy phân tích, logic và sáng tạo của học sinh trong việc giải quyết các vấn đề toán học phức tạp. Chúng bao gồm các lĩnh vực như đại số, hình học, giải tích và lý thuyết xác suất, yêu cầu các thí sinh vận dụng linh hoạt các phương pháp và kỹ thuật toán học tinh tế.
Mỗi bài toán đều đòi hỏi các bước giải quyết chi tiết, sử dụng các quy tắc và nguyên lý toán học một cách chính xác và logic. Các lời giải chi tiết được cung cấp nhằm hỗ trợ các thí sinh trong quá trình giải quyết và đánh giá kết quả của mình.
Đề thi này không chỉ là một thử thách về kiến thức mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện tài năng và niềm đam mê với môn Toán. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để đại diện cho tỉnh Bình Thuận tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp cao hơn, nơi họ sẽ cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất trên toàn quốc.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận
Bài 1. (5 điểm)
Giải phương trình: $\frac{1}{3 x-1}+\frac{1}{x^2+2 x-1}+3 x^3+4 x^2-10 x+3=\frac{1}{3 x^3+5 x^2-5 x+1}$.
Bài 2. (5 điểm)
Cho các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa $x^2 y^2 z^2+x y z(x+y+z)+x y+y z+z x+1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2-2(x y+y z+z x)$ là số chính phương.
Bài 3. (5 điểm)
Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là giao điểm của $A B$ và $C D, A D$ và $B C, A C$ và $B D$. Lấy $K$ là trung điểm của đoạn $M N$; đoạn $P K$ cắt $(O)$ tại $H, M H$ cắt $(O)$ tại $I$ khác $H, N H$ cắt $(O)$ tại $J$ khác $H$. Hãy phân tích $\overrightarrow{P K}$ theo hai vectơ $\overline{M I}, \overrightarrow{N J}$.
