Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp cơ sở năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Điện Biên
Trong năm học 2018 – 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Điện Biên đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp cơ sở dành cho học sinh lớp 12. Đề thi này được thiết kế với mục đích tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để tham gia các vòng thi cấp cao hơn.
Đề thi gồm một trang duy nhất, bao gồm 5 bài toán tự luận, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tương đương với 3 giờ, nhằm đảm bảo học sinh có đủ thời gian để suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp cơ sở này đã diễn ra vào ngày 04/12/2018. Đáng chú ý, đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết, giúp học sinh có thể tự đối chiếu và kiểm tra lại quá trình giải quyết của mình sau khi hoàn thành bài thi.
Việc cung cấp lời giải chi tiết không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải quyết các vấn đề mà còn thúc đẩy quá trình học tập và phát triển năng lực Toán học của họ. Điều này phù hợp với mục tiêu của kỳ thi, đó là tạo ra một sân chơi lành mạnh và công bằng để các học sinh có cơ hội thể hiện năng lực và đam mê của mình đối với môn Toán.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp cơ sở năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Điện Biên
Câu 1: (6,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=\frac{2 x-3}{x-1}(C)$ và đường thẳng $d: x-y-1=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với $\mathrm{d}$.
2. Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3 m x^2+3\left(m^2-1\right) x+m+2$ đồng biến trên khoảng $(2 ;+\infty)$.
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{2 \sin ^2 x}{\sin ^4 \frac{x}{2}+\cos ^4 \frac{x}{2}}$.
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}x^3-y^3-3\left(2 x^2-y^2+2 y\right)+15 x-10=0 \\ \sqrt{2-y}+\sqrt{3-x}=2 x-2\end{array} \quad(x ; y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 3: (4,0 điểm)
1. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các số
$0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9$. Xác định số phần tử của $S$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
2. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho hai điểm $A(0 ; 9), B(3 ; 6)$. Gọi $D$ là miền nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2 x-y+a \leq 0 \\ 6 x+3 y+5 a \geq 0\end{array}\right.$. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để $A B \subset D$.
