Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Trong nỗ lực không ngừng nhằm phát hiện và bồi dưỡng những tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018. Sự kiện này đóng vai trò quan trọng trong việc tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất từ các trường THPT và cơ sở giáo dục – đào tạo trên toàn tỉnh Hà Tĩnh.
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 – 2018 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh soạn thảo gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sâu sắc và toàn diện. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy logic và sự kiên trì trong quá trình giải quyết các vấn đề phức tạp.
Đề thi được thiết kế với mục đích tuyển chọn những học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tại các trường THPT và cơ sở giáo dục – đào tạo trên toàn tỉnh Hà Tĩnh. Điều này không chỉ giúp phát hiện những tài năng trẻ xuất sắc mà còn thúc đẩy phong trào học tập và nghiên cứu Toán học trong cộng đồng học sinh tại địa phương.
Để đảm bảo tính công bằng và khách quan trong quá trình chấm thi, đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 – 2018 tại Hà Tĩnh được trang bị lời giải chi tiết. Điều này giúp các giám khảo có thể đánh giá một cách chính xác và toàn diện các bài làm của các thí sinh.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Câu 1. (5.0 điểm)
a. Cho hàm số $y=\frac{2 x+3}{x+2}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y=-2 x+m$. Chứng minh rằng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A, B$ phân biệt với mọi số thực $m$. Gọi $k_1, k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$. Tìm $m$ để $k_1+k_2=4$.
b. Cho khai triển $(1+x)^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n, n \in \mathbb{N}, n \geq 1$. Hỏi có bao nhiêu giá trị $n \leq 2017$ sao cho tồn tại $k$ thỏa mãn $\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{7}{15}$.
Câu 2. (4.5 điểm)
a. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2>1$
$$
2 \log _{9+4 \sqrt{5}}\left(2 x^2-x-4 m^2+2 m\right)+\log _{\sqrt{\sqrt{5}-2}} \sqrt{x^2+m x-2 m^2}=0 \text {. }
$$
b. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(\sqrt{x+1}-1)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=\sqrt{x} \\ 2 x^3\left(y^2+1\right)-(x+1) x y=2\end{array}\right.$.
Câu 3. (4.0 điêm)
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi, $A B=A C=a$; tam giác $S B D$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $S C$, mặt phẳng $(A B M)$ chia khối chóp $S . A B C D$ thành hai khối đa diện.
a. Tính thể tích của khối đa diện không chứa điểm $\mathrm{S}$.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B M$.
