Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Dương
Tại tỉnh Hải Dương, một sự kiện quan trọng đã diễn ra trong năm học 2017 – 2018, đó là kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho khối lớp 12. Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương đã tổ chức một đề thi đầy thách thức, bao gồm 5 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt.
Thời gian dành cho kỳ thi này là 180 phút, tương đương với 3 giờ liên tục, cho phép các học sinh có đủ không gian để suy nghĩ, tính toán và hoàn thiện bài làm của mình. Điều đáng chú ý là đề thi không chỉ đơn thuần là những câu hỏi khó, mà còn được trang bị lời giải chi tiết, giúp các thí sinh có thể tham khảo và học hỏi sau khi hoàn thành bài thi.
Sự chuẩn bị chu đáo này phản ánh nỗ lực của Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương trong việc tạo ra một môi trường học tập chuyên nghiệp và khuyến khích sự phát triển của tài năng. Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện khả năng, đồng thời tiếp thu kiến thức mới từ lời giải chi tiết.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Dương
Câu 1 (2 điểm)
1. Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}$ có đồ thị là $(\mathrm{C})$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(\mathrm{C})$ sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của $(\mathrm{C})$ đến tiếp tuyến là lớn nhất.
2. Tìm $\mathrm{m}$ để phương trình sau có nghiệm thực ;
$$
x^4+\frac{1}{x^4}-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+x+\frac{1}{x}=m
$$
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình: $\sin ^{2017} x+\cos ^{2018} x=\frac{x^2}{2}+\cos x$.
2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}20 \sqrt{6-x}-17 \sqrt{5-y}-3 x \sqrt{6-x}+3 y \sqrt{5-y}=0 \quad \text { (1) } \\ 2 \sqrt{2 x+y+5}+3 \sqrt{3 x+2 y+11}=x^2+6 x+13 \quad \text { (2) }\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$
Câu 3 (2 điểm)
1. Môn bóng đá nam SE GAME có 10 đội bóng tham dự trong đó có Việt Nam và Thái Lan. Chia 10 đội bóng này thành 2 bảng $\mathrm{A}, \mathrm{B}$. Mỗi bảng có 5 đội. Tính xác suất sao cho Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng.
2. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thoả mãn điều kiện: $u_1=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}, u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ với mọi $n=1,2, \ldots$. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn và tìm $\operatorname{Lim} 2^n \cdot \sqrt{2-u_n}$.
