Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình
Trong năm học 2020 – 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình đã tổ chức một sự kiện quan trọng dành cho học sinh giỏi môn Toán lớp 12 – Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh. Sự kiện này diễn ra vào ngày 08 tháng 12 năm 2020, tạo cơ hội cho các tài năng trẻ thể hiện kiến thức và tư duy toán học của mình.
Đề thi được thiết kế với 05 bài toán tự luận, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, đủ để các thí sinh thể hiện khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề một cách toàn diện.
Không chỉ đơn thuần là một bài kiểm tra kiến thức, đề thi này còn là một thách thức thú vị, khơi gợi niềm đam mê và sự sáng tạo trong môn Toán của các học sinh. Đáp án và lời giải chi tiết được cung cấp, giúp các em có cơ hội học hỏi và nâng cao kỹ năng giải toán.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm học 2020 – 2021 tại Quảng Bình không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là nơi khơi nguồn cảm hứng và nuôi dưỡng tài năng cho thế hệ tương lai.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình
Câu 1 (2,0 điểm).
a. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A, B$ là các giao điểm của $(C)$ với các trục tọa độ. Tìm trên $(C)$ các điểm $M$ có tọa độ nguyên sao cho tam giác $M A B$ có diện tích bằng 8 (đvdt).
b. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{1}{12} \sin 3 x+\cos ^2 x-\frac{1}{4} \sin x-m\right|$ bằng 1 .
Câu 2 (2,0 điểm).
a. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\sqrt[3]{\log u_{19}-\log u_1}+\sqrt{\log u_{19}-\log u_1+3}=3$ và $u_{n+1}=u_n+2$, với mọi $n \in \mathbb{N} *$. Tìm $n$ sao cho $(\sqrt{2})^{u_n}=4^{2020}$.
b. Cho $f(x)=\frac{2020^x}{2020^x+\sqrt{2020}}$. Tính tổng $S=f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2}{2021}\right)+\ldots+f\left(\frac{2020}{2021}\right)$.
Câu 3 (2,0 điểm).
a. Cho đa giác đều $\mathrm{A}_1 \mathrm{~A}_2 \ldots \mathrm{A}_{2020}$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$, chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác đó. Tính xác suất để nhận được một tam giác tù.
b. Chứng minh rằng $\left(C_{2020}^1\right)^2+\left(2 C_{2020}^2\right)^2+\left(3 C_{2020}^3\right)^2+\ldots+\left(2020 C_{2020}^{2020}\right)^2=2020^2 C_{4038}^{2019}$.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho tứ diện $A B C D$ và hai điểm $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $A B, A C$ sao cho $2 A M=B M, 2 C N=A N$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $M, N$ và song song với cạnh $A D$, cắt các cạnh $B D$ và $C D$ lần lượt tại $K$ và $L$.
a. Gọi $V$ là thể tích của khối tứ diện $A B C D$. Tính thể tích khối đa diện $B C M N L K$ theo $V$.
b. Giả sử tứ diện $A B C D$ có $B C=x(0<x<\sqrt{3})$, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 . Tìm $x$ để thể tích khối tứ diện $A B C D$ đạt giá trị lớn nhất.
