Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Trong nỗ lực thúc đẩy sự phát triển của tài năng trẻ và khuyến khích tinh thần học tập, vào ngày 02 tháng 10 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh khối 12 năm học 2019 – 2020 môn Toán Phổ Thông. Sự kiện này nhằm mục đích tìm kiếm và tôn vinh những tài năng xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, đồng thời bổ sung vào đội tuyển học sinh giỏi Toán của tỉnh, chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm 2020.
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế soạn thảo gồm có 06 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Đề thi được trình bày trong 01 trang, và thời gian dành cho các học sinh hoàn thành bài thi là 180 phút, đủ để thể hiện khả năng và sự nỗ lực của mình.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các học sinh thể hiện năng lực, đam mê và sự cống hiến trong lĩnh vực Toán học. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được vinh danh và đại diện cho tỉnh Thừa Thiên Huế tham gia kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia, nơi họ có thể cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất trên toàn quốc.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho hàm số $y=-x^3+3 x^2+3\left(m^2-1\right) x-3 m^2+1$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$, m là tham số.
a) Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=x-3 m^2+1$ cắt đồ thị $\left(C_m\right)$ tại ba điểm phân biệt.
b) Tìm $m$ để đồ thị $\left(C_m\right)$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho tam giác $A O B$ vuông tại $O$.
Bài 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình lượng giác: $\sin ^2 x(\tan x-2)=3(\cos 2 x+\sin x \cdot \cos x)$.
2. Giải phương trình: $\sqrt{2 x+3}+\sqrt{x+1}=3 x+2 \sqrt{2 x^2+5 x+3}-16$.
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}8 x^3+2 x y^2=y^6+y^4 \\ \sqrt{4 x+5}+\sqrt{y^2+7}=6\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$
2. Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.
Bài 4. (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho điểm $E(3 ; 4)$, đường thẳng $d: x+y-1=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2+4 x-2 y-4=0$. Gọi $M(m ; 1-m)$ là điểm nằm trên đường thẳng $d$ và nằm ngoài đường tròn $(C)$, từ $M$ kẻ các tiếp tuyến $M A, M B$ đến đường tròn $(C)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. Gọi $(E)$ là đường tròn tâm $E$ và tiếp xúc với đường thẳng $A B$.
a) Viết phương trình đường thẳng $A B$ theo $m$.
b) Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho đường tròn $(E)$ có chu vi lớn nhất.
Bài 5. (3,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh bên bằng $a$. Góc hợp giữa cạnh bên với mặt đáy bằng $\alpha\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$.
a) Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ theo $a$ và $\alpha$.
b) Giả sử $a$ không đổi, $\alpha$ thay đổi và $\alpha \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$. Xác định $\alpha$ để thể tích khối chóp $S . A B C D$ đạt giá trị lớn nhất.
