Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Bình
Vào ngày 14 tháng 03 năm 2019, Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Quảng Bình đã tổ chức một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục – kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho khối lớp 12 trung học phổ thông năm học 2018 – 2019. Đây là một cơ hội để các học sinh xuất sắc trong môn Toán được thể hiện năng lực và kiến thức của mình, đồng thời là nơi để các nhà giáo dục tìm kiếm những tài năng trẻ tiềm năng.
Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, gồm 1 trang với 5 bài toán khó khăn và phức tạp, yêu cầu học sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài thi là 180 phút, không bao gồm thời gian phát đề và hướng dẫn của giám thị. Điều này đòi hỏi các thí sinh phải có sự tập trung cao độ, kỹ năng quản lý thời gian hiệu quả và khả năng giải quyết vấn đề một cách logic và sáng tạo.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện tài năng, mà còn là một cơ hội để các nhà giáo dục đánh giá chất lượng giảng dạy và xác định những lĩnh vực cần cải thiện. Nó cũng góp phần thúc đẩy sự phát triển của nền giáo dục tỉnh Quảng Bình, khuyến khích tinh thần học tập và nghiên cứu trong cộng đồng học sinh.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Bình
Câu 1 (2.0 điểm)
a. Cho hàm số $y=\frac{1}{x}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ và điểm $I\left(-\frac{5}{6} ; \frac{5}{4}\right)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I$ và cắt $(C)$ tại hai điểm $M, N$ sao cho $I$ là trung điểm của $M N$.
b. Cho hàm số $y=x+\left|x^2-2 x+m\right|$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hàm số có cực đại.
Câu 2 (2.0 điểm)
a. Giải phương trình sau trên tập số thực $\mathbb{R}$ :
$$
x^3-7 x^2+9 x+12=(x-3)(x-2+5 \sqrt{x-3})(\sqrt{x-3}-1) \text {. }
$$
b. Cho sáu thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số của tập $E=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8\}$ (các thẻ khác nhau ghi các số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù.
Câu 3 (2.0 điểm). Cho tích phân $I(t)=\int_0^t(x \sin x)^2 d x$.
a. Tính $I(t)$ khi $t=\pi$.
b. Chứng minh rằng $I(t)+I(-t)=0, \forall t \in \mathbb{R}$.
Câu 4 (3.0 điểm)
Cho khối tứ diện $S A B C$ và hai điểm $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $S A, S B$ sao cho $\frac{S M}{M A}=\frac{1}{2}, \frac{S N}{N B}=2$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $M, N$ và song song với đường thẳng $S C$.
a. Trong trường hợp $S A B C$ là tứ diện đều cạnh $a$, xác định và tính theo $a$ diện tích thiết diện của khối tứ diện $S A B C$ với mặt phẳng $(P)$.
b. Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng $(P)$ chia tứ diện $S A B C$ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
