Đề thi chọn HSG THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán 12 sở GD và ĐT Hà Nam
Trong nỗ lực không ngừng nhằm phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT môn Toán 12 năm học 2017 – 2018. Sự kiện này là một sân chơi trí tuệ quan trọng, nơi các học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học được thể hiện năng lực và kiến thức của mình.
Đề thi chọn học sinh giỏi THPT môn Toán 12 năm học 2017 – 2018 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam soạn thảo gồm 01 trang với 06 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sâu sắc và toàn diện. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy logic, sự kiên trì và sáng tạo trong quá trình giải quyết các vấn đề phức tạp.
Điều đáng chú ý là đề thi chọn học sinh giỏi THPT môn Toán 12 năm học 2017 – 2018 tại Hà Nam được trang bị lời giải chi tiết. Điều này đảm bảo tính công bằng và khách quan trong quá trình chấm thi, giúp các giám khảo có thể đánh giá một cách chính xác và toàn diện các bài làm của các thí sinh.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là nơi khơi dậy niềm đam mê học tập và nghiên cứu Toán học trong cộng đồng học sinh tại Hà Nam. Sự kiện này góp phần thúc đẩy phong trào học tập và nâng cao chất lượng giáo dục tại địa phương, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng những tài năng trẻ tiềm năng trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán 12 sở GD và ĐT Hà Nam
Câu 1. (5,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=-x^3+3 m x^2+3\left(1-m^2\right) x+m^3-m^2$, với $m$ là tham số thực. Chứng minh rằng $\forall m \in \mathbb{R}$ hàm số trên luôn có hai điểm cực trị. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số trên thỏa mãn điều kiện điểm $M$ vừa là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với giá trị này của $m$ đồng thời điểm $M$ vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của $m$.
2. Cho hàm số $y=\frac{2 x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$, điểm $I(3 ; 3)$ và đường thẳng $d: y=-x+m$. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho diện tích tứ giác $O A I B$ bằng 6 ( $O$ là gốc tọa độ).
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực
$$
x^2+9+\log _2\left(\frac{16 x^2+96 x+208}{\sqrt{12 x+16}+\sqrt{45 x+81}}\right) \leq 2 \sqrt{3 x+4}-6 x+3 \sqrt{5 x+9} .
$$
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $\left\{\begin{array}{l}2.4^y+1=2^{\sqrt{2 x}+1}+2 \log _2\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right) \\ \sqrt{x+1}=\frac{x^2-x-2 \sqrt[3]{4 y^2+1}}{\sqrt[3]{2 x+1}-3}\end{array}\right.$.
Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{\left(x^2-1\right) \cos ^2 x+1-x \sin 2 x} d x$.
