Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Phòng (Không chuyên)
Trong khuôn khổ của kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm học 2017 – 2018 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng tổ chức, đề thi dành cho bảng không chuyên đã được thiết kế với 7 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề trong thời gian 180 phút.
Đề thi này được xem là một thước đo quan trọng để đánh giá năng lực toán học của học sinh không theo học chương trình chuyên sâu, đồng thời cũng là cơ hội để các em thể hiện khả năng tư duy logic, sự linh hoạt trong việc áp dụng các nguyên lý và phương pháp giải toán. Với thời lượng 3 giờ, các bài toán tự luận đòi hỏi sự tập trung cao độ, khả năng quản lý thời gian hiệu quả và kỹ năng trình bày lý luận một cách rõ ràng, súc tích.
Việc thiết kế đề thi với 7 bài toán tự luận phản ánh xu hướng đánh giá năng lực thực hành và vận dụng kiến thức của học sinh, thay vì chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức lý thuyết. Đây là một bước tiến quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giáo dục toán học, nhằm đào tạo những học sinh có khả năng giải quyết vấn đề phức tạp, sẵn sàng đối mặt với các thách thức trong thực tế.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Phòng (Không chuyên)
Bài 1. ( 2,0 điểm ) Cho hàm số $y=\frac{2 x-1}{x-1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d: x-y+m=0$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $A B=2 \sqrt{2}$.
b) Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x+y-2=0$. Tìm điểm $M$ trên $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. ( 2,0 điểm )
a) Tìm số nghiệm nằm trong khoảng $(0 ; 2017 \pi)$ của phương trình:
$$
\frac{2 \sin \left(\frac{\pi}{3}-2 x\right)+2 \sin 2 x+\sqrt{3}}{\cos x}=4 \sin \left(2 x-\frac{5 \pi}{6}\right)
$$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2 \sqrt{x+3 y+2}-3 \sqrt{y}=\sqrt{x+2} \\ \sqrt{y-1}-\sqrt{4-x}+8-x^2=0\end{array}\right.$
Bài 3. ( 2,0 điểm ) Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy là tam giác $A B C$ vuông tại $C$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime} C^{\prime}$ và $B C$. Biết $A C=a, B C=a \sqrt{3}$, số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(A B C^{\prime}\right)$ và $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$.
a) Tính thể tích của khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
b) Tính diện tích thiết diện của lăng trụu $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ cắt bởi mặt phẳng $(A M N)$.
