Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Nội
Với mục đích tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong môn Toán lớp 12 THPT để tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán THPT cấp Quốc gia, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội đã tổ chức một sự kiện quan trọng vào ngày 03 tháng 10 năm 2019 – kỳ thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán 12 năm học 2019 – 2020. Sự kiện này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các em học sinh thể hiện năng lực, kiến thức và sự say mê với môn Toán.
Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội soạn thảo gồm 05 bài toán tự luận đa dạng và thách thức, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt. Đề thi được trình bày trong 01 trang duy nhất, tạo sự gọn gàng và dễ theo dõi cho các thí sinh. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, cho thấy tính chất khó khăn và phức tạp của đề thi, đồng thời thể hiện sự khắt khe trong việc đánh giá năng lực của các thí sinh.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán 12 năm học 2019 – 2020 tại Hà Nội không chỉ là một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục mà còn là cơ hội để các em học sinh thể hiện tinh thần cầu tiến và không ngừng vươn lên trong học tập. Sự kiện này góp phần thúc đẩy phong trào học tập và nghiên cứu Toán học trong cộng đồng học sinh, đồng thời khuyến khích tinh thần cạnh tranh lành mạnh và sự nỗ lực không ngừng trong việc chinh phục tri thức.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Nội
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số $y=x^3+3 x^2+(m+4) x+m+2$ có đồ thị $\left(C_m\right)$ và điểm $M\left(2 ;-\frac{3}{2}\right)$. Tìm $m$ để đường thẳng $y=2 x+2$ cắt $\left(C_m\right)$ tại ba điểm phân biệt $A(-1 ; 0), B, C$ sao cho $\triangle M B C$ là tam giác đều.
Bài II (5 điểm)
1) Giải phương trình: $\sqrt{2 x^2+22 x+29}-x-2=2 \sqrt{2 x+3}$.
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y\right)^3-\left(y^2+x\right)^3=6\left(x^2-x\right)-6\left(y^2-y\right) \\ 8 x^4+8 y^4+8 x^2+8 y^2=9-16 x y(x+y)\end{array}\right.$.
Bài III (3 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=\frac{\sqrt{3}}{3}, u_{n+1}=\frac{\sqrt{u_n^2+1}-1}{u_n} ; n=1,2, \ldots$
1) Chứng minh $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn.
2) Chứng minh $\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\ldots+\frac{1}{u_{2019}}<2^{2020}$.
