Đề thi chọn HSG lớp 12 cấp trường năm học 2017 – 2018 môn Toán trường Trần Hưng Đạo – Vĩnh Phúc
Trong quá trình tuyển chọn những tài năng trẻ xuất sắc, trường Trung Học Phổ Thông Trần Hưng Đạo tại tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức một kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường dành cho khối lớp 12 trong năm học 2017 – 2018. Đề thi môn Toán, một trong những môn học trọng tâm, đã được soạn thảo với sự tỉ mỉ và chuyên nghiệp cao.
Tài liệu đề thi gồm một trang duy nhất, bao gồm sáu bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho kỳ thi là 180 phút, đủ để các học sinh có thể thể hiện đầy đủ năng lực của mình. Điều đáng chú ý là đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm, giúp các giáo viên chấm thi dễ dàng hơn và đảm bảo tính công bằng, minh bạch trong quá trình chấm điểm.
Với sự chuẩn bị chu đáo và chuyên nghiệp, đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 tại trường THPT Trần Hưng Đạo đã trở thành một sân chơi lý thú và công bằng, nơi các tài năng trẻ có cơ hội thể hiện năng lực và được khích lệ phát triển tiềm năng của mình.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG lớp 12 cấp trường năm học 2017 – 2018 môn Toán trường Trần Hưng Đạo – Vĩnh Phúc
Câu 1 (2,5 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị $m$ để $y=\frac{m}{3} x^3-(m-1) x^2+3(m-2) x+\frac{1}{3}$ đồng biến trên $[2,+\infty)$
b) Cho hàm số $y=x^4-2 m x^2+m-1\left(C_m\right)$, với $m$ là tham số thực. Xác định tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $\left(C_m\right)$ có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có một góc tù.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình $\sqrt{3} \sin 2 x+\sqrt{3}+1=2 \cos ^2 x$
b) Cho $\mathrm{A}$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số 0 , $2,3,5,6,8$. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập $\mathrm{A}$. Tính xác suất để số lấy được có chữ số 0 và chữ số 5 không đứng cạnh nhau.
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3-y^3+6 x^2-3 y^2+14 x-5 y=-9 \\ \sqrt{1-x^2}-\sqrt{y}=\sqrt{2-y}-1\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$
Câu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $O x y$, cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A(5,-7)$, điểm $C$ thuộc đường thẳng có phương trình $\left(d_1\right): x-y+4=0$. Đường thẳng đi qua $D$ và trung điểm của đoạn $A B$ có phương trình $\left(d_2\right): 3 x-4 y-23=0$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$, biết điểm $B$ có hoành độ dương.
