Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Trong không khí tràn đầy năng lượng và sự háo hức của các học sinh, vào sáng thứ Ba ngày 03/09/2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 khối THPT năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội quý giá để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được thể hiện năng lực và kiến thức của mình, đồng thời là nơi để các nhà giáo dục tìm kiếm những học sinh xuất sắc nhất.
Đề thi được thiết kế một cách chuyên nghiệp và khó khăn, gồm 06 bài toán đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách toàn diện.
Đề thi được trình bày trên 01 trang duy nhất, nhưng không vì thế mà giảm đi tính khó khăn và thách thức của nó. Điều này phản ánh sự chuyên nghiệp và tính chuyên môn cao của ban ra đề, cũng như sự quan tâm đặc biệt đối với môn Toán – một môn học cốt lõi trong hệ thống giáo dục phổ thông.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện tài năng, mà còn là một cơ hội để các nhà giáo dục tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng trẻ tiềm năng, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tại Quảng Ninh nói riêng và cả nước nói chung.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số $y=\frac{2 x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên $(C)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận của $(C)$ tại $A$ và $B$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm trên $(C)$ tất cả các điểm $M$ sao cho chu vi tam giác $I A B$ nhỏ nhất.
Câu 2 (3 điểm). Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}e^{x^3+x y^2}-e^{y^6+y^4}+\ln \frac{x^3+x y^2}{y^6+y^4}=0 \\ \sqrt{9 y-2}+\sqrt[3]{7 x+2 y-5}=2 y+3\end{array}\right.$.
Câu 3 (4 điểm).
a) Cho $a=\log _2 3 ; b=\log _3 5 ; c=\log _7 2$. Tính $\log _{280} 441$ theo $a, b, c$.
b) Có 2 nhà kho, nhà kho thứ nhất có 8 cái điều hòa tốt và 4 cái điều hòa hỏng. Nhà kho thứ hai có 9 cái điều hòa tốt và 6 cái điều hòa hỏng ( Giả thiết các điều hòa ở hai nhà kho, mỗi cái đựng trong hộp kín, nhìn bề ngoài không phân biệt được). Hùng vào mỗi nhà kho lấy ra ngẫu nhiên 2 cái điều hòa. Tính xác suất để 4 cái điều hòa Hùng lấy được có ít nhất 2 cái tốt.
Câu 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\mathrm{Ox} y$, cho tam giác $A B C$ có 3 góc đều nhọn và nội tiếp đường tròn tâm $I$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $A C, H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $B I$. Đường thẳng $A C$ và $K H$ lần lượt có phương trình $x+y+1=0$ và $x+2 y-1=0$. Biết điểm $B$ thuộc đường thẳng $y-5=0$, điểm $I$ thuộc đường thẳng $x+1=0$. Tìm tọa độ điểm $C$.
Câu 5 (4 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$, tâm $O$. Biết $S O$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D), S B=3 a$ và $B A D=120^{\circ}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $B C$ và $S A$ sao cho $B M=\frac{2}{3} B C, S N=\frac{1}{3} S A$.
a) Tính thể tích hình chóp S.MND theo $a$.
b) Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $M N$ và mặt phẳng $(S B D)$. Tính $\cos \varphi$.