Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Nhằm tôn vinh và khuyến khích phát triển tài năng toán học của học sinh trung học phổ thông, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng đã tổ chức Kỳ thi chọn Học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh dành cho khối 12 theo chương trình THPT năm học 2018 – 2019. Sự kiện quan trọng này diễn ra vào ngày 18 tháng 01 năm 2019, tạo ra một sân chơi trí tuệ đầy thử thách và hứng khởi cho các tài năng trẻ.
Đề thi bao gồm 08 câu hỏi tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt trong thời gian 180 phút. Các câu hỏi được thiết kế nhằm kiểm tra khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh, đồng thời khuyến khích sự sáng tạo và tư duy phản biện.
Mục đích chính của kỳ thi này là tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để biểu dương, khen thưởng và tạo động lực phấn đấu cho các em. Đồng thời, từ những tài năng được tuyển chọn, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng sẽ thành lập đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, tiếp tục bồi dưỡng và chuẩn bị cho các em tham dự Kỳ thi chọn Học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia.
Việc tổ chức kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn thể hiện nỗ lực của ngành giáo dục trong việc phát hiện, bồi dưỡng và khuyến khích phát triển tài năng toán học của học sinh. Đây là cơ hội quý giá để các em thể hiện năng lực, đam mê và niềm đam mê với môn Toán, đồng thời khích lệ tinh thần học tập và phấn đấu không ngừng.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Câu 1: (2,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=-x^3+3 x^2+3\left(m^2-1\right) x-3 m^2-1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa $x_1+4 x_2=0$.
Câu 2: (4,0 điểm)
2.1. Cho $a=\log _5 6$ và $b=\log _6 12$. Tính $\log _3 60$ theo $a$ và $b$
2.2. Giải phương trình $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\frac{x^2}{4}$.
Câu 3: (2,0 điểm)
Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật $A B C D$ được sơn trang trí như hình bên. Chi phí để sơn phần tô đậm là 250.000 đồng $/ \mathrm{m}^2$ và phần còn lại là 160.000 đồng $/ \mathrm{m}^2$. Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu?
Biết $A D=4 m, D C=3 m$ và $A E=E F=F B$.
Câu 4: (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A(1 ; 0 ; 3), B(-3 ; 1 ; 3), C(1 ; 5 ; 1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $O x y$ sao cho biểu thức $T=2|\overrightarrow{M A}|+|\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|$ có giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (2,0 điểm)
Tính tổng $S=2^2 C_{2019}^2-3^2 C_{2019}^3+\ldots+(-1)^k k^2 C_{2019}^k+\ldots-2019^2 C_{2019}^{2019}$.
