Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)
Trong quá trình tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 dự thi cấp quốc gia, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Thuận đã tổ chức kỳ thi vòng 1 vào ngày 18 tháng 10 năm 2018. Đây là một bước quan trọng trong quá trình sàng lọc và đánh giá năng lực của các học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học cấp Trung học Phổ thông trên địa bàn tỉnh.
Đề thi vòng 1 gồm 4 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sâu sắc và toàn diện. Thời gian làm bài là 180 phút, cho thấy mức độ khó khăn và phức tạp của đề thi. Các câu hỏi được thiết kế nhằm kiểm tra khả năng tư duy logic, phân tích, tổng hợp và áp dụng kiến thức Toán học vào các tình huống thực tế.
Đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm đánh giá, giúp các giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách thức chấm điểm và tiêu chí đánh giá. Điều này không chỉ đảm bảo tính công bằng và minh bạch của kỳ thi mà còn giúp các học sinh có cơ hội học hỏi và rút ra kinh nghiệm quý báu cho những vòng thi tiếp theo.
Kỳ thi vòng 1 này là một bước đệm quan trọng để lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất tham gia vòng thi cuối cùng, từ đó tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 đại diện cho tỉnh Bình Thuận tham dự kỳ thi cấp quốc gia.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)
Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn $2 x \geq y>0$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2-x y+y^2}{x^2+x y+y^2}$.
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3 x^2-3 m x+m$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$ biết $u_1=2$ và $u_{n+1}=2 u_n+5, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
b) Cho dãy số $\left(v_n\right)$ thỏa mãn $v_1=\frac{1}{2018}, v_{n+1}=\frac{2 v_n}{1+2018 v_n^2}, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng $v_{n+1} \geq v_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Bài 3 (4,0 điểm).Giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 \sqrt{x y}(x+y-1)=x^2+y^2 \\
x^2 y \sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}=x^2 y-x
\end{array} .\right.
$$
Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ nhọn có $A B<A C$ và hai đường cao $B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Các đường tròn $\left(O_1\right),\left(O_2\right)$ cùng đi qua $A$ và theo thứ tự tiếp xúc với $B C$ tại $B, C$. Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của $\left(O_1\right)$ và $\left(O_2\right)$.
a) Chứng minh đường thẳng $A D$ đi qua trung điểm của cạnh $B C$;
b) Chứng minh ba đường thẳng $E F, B C, H D$ đồng quy.
