Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Hải Dương
Trong năm học 2017-2018, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh dành cho môn Toán khối lớp 12 Trung học Phổ thông. Đây là một sự kiện quan trọng, nhằm tôn vinh và khuyến khích những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực toán học tại địa phương.
Đề thi bao gồm 5 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức sâu rộng và tư duy logic để giải quyết các vấn đề phức tạp. Việc thiết kế đề thi với các bài toán tự luận không chỉ đánh giá kiến thức mà còn kiểm tra khả năng tư duy phân tích, sáng tạo và giải quyết vấn đề của các học sinh.
Điều đáng chú ý là đề thi này đi kèm với lời giải chi tiết và thang điểm. Lời giải chi tiết cung cấp cho các thí sinh và giáo viên hướng dẫn cụ thể về cách giải quyết từng bài toán, giúp họ hiểu rõ hơn về quy trình tư duy và phương pháp tiếp cận vấn đề. Điều này không chỉ hữu ích cho việc đánh giá kết quả mà còn là tài liệu quý giá để học tập và phát triển năng lực toán học.
Thang điểm đi kèm với đề thi cho phép các giáo viên đánh giá chính xác mức độ hoàn thành của mỗi bài toán, từ đó xác định được điểm số tổng thể của thí sinh. Thang điểm này cũng cung cấp thông tin hữu ích về những phần nào cần được cải thiện hoặc củng cố thêm, giúp các học sinh có hướng phát triển phù hợp.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 THPT năm học 2017-2018 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương là một sân chơi danh giá, nơi các tài năng trẻ có cơ hội thể hiện và được tôn vinh. Đề thi này không chỉ đánh giá kiến thức mà còn khuyến khích sự sáng tạo và tư duy phân tích, đồng thời cung cấp tài liệu hữu ích để học tập và phát triển năng lực toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Hải Dương
Câu 1 (2,0 điểm):
1) Cho $\mathrm{I}(2 ; 1)$. Tìm tất cả các giá trị của $\mathrm{m}$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3 m x+1$ có hai điểm cực trị $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ sao cho diện tích $\triangle \mathrm{IAB}$ bằng $8 \sqrt{2}$.
2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $\mathrm{A}$ ở trên bờ biển đến một vị trí $\mathrm{B}$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển $6 \mathrm{~km}$. Gọi $\mathrm{C}$ là điểm trên bờ sao cho $\mathrm{BC}$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{C}$ là $9 \mathrm{~km}$. Người ta cần xác định một vị trí $\mathrm{D}$ trên $\mathrm{AC}$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $\mathrm{ADB}$. Tính khoảng cách $\mathrm{AD}$ để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi $\mathrm{km}$ đường ống trên bờ là 100.000 .000 đồng và dưới nước là 260.000 .000 đồng.
Câu 2 (2,0 điểm):
1) Giải phương trình $\frac{8}{\sin ^3 2 x}+\tan x=\cot ^3 x$.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3-6 x^2+13 x=y^3+y+10 \\ \sqrt{2 x+y+2}-\sqrt{5-x-y}=x^3-3 x^2+10 y-8\end{array}\right.$.
Câu 3 (2,0 điểm):
1) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_1=-7, u_{n+1}=5 u_n-12\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$. Tìm $\lim \frac{u_n}{5^n}$.
2) Trong mặt phẳng $\mathrm{Oxy}$, cho đường tròn (1) có hai đường kính $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{MN}$ với $A(1 ; 3), B(3 ;-1)$. Tiếp tuyến của (I) tại $\mathrm{B}$ cắt các đường thẳng $\mathrm{AM}$ và $\mathrm{AN}$ lần lượt tại $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Tìm tọa độ trực tâm $\mathrm{H}$ của $\triangle \mathrm{MEF}$ sao cho $\mathrm{H}$ nằm trên đường thẳng $d: x-y+6=0$ và có hoành độ dương.
