Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Cao Bằng
Trong nỗ lực không ngừng nhằm khuyến khích và phát triển tài năng trẻ, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cao Bằng đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện dành cho khối lớp 12 trung học phổ thông trong năm học 2017 – 2018. Môn thi Toán, một trong những môn học cốt lõi, đã được thiết kế với sự tỉ mỉ và chuyên nghiệp cao.
Đề thi gồm một trang duy nhất, bao gồm bảy bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho kỳ thi là 180 phút, không bao gồm thời gian giao đề, nhằm đảm bảo các học sinh có đủ thời gian để thể hiện năng lực của mình. Điều đáng chú ý là đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm, giúp quá trình chấm thi được minh bạch và công bằng.
Với sự chuẩn bị chu đáo và chuyên nghiệp, đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 12 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cao Bằng soạn thảo đã trở thành một sân chơi lý thú và công bằng, nơi các tài năng trẻ có cơ hội thể hiện năng lực và được khích lệ phát triển tiềm năng của mình trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Cao Bằng
Câu 1: (4,0 điểm)
a. Tìm các giá trị của tham số $m$ đề hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2 x^2+m x-1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn: $\left|x_1-x_2\right|=2$.
b. Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y=2 x+m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $A B=5$.
Câu 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x}=1$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}y^3+y-2=x\left(x^2+3 x+4\right) \\ x^2+y^2=5\end{array}\right.$
Câu 3: (2,0 điểm)
Giải phương trình: $\cos x(4 \sin x+\sqrt{3})=\sin x$
Câu 4: (2,0 điểm)
Một trường trung học phổ thông có 12 học sinh giỏi gồm ba học sinh khối 10 , bốn học sinh khối 11 và năm học sinh khối 12 . Chọn sáu học sinh trong số học sinh giỏi đó, tính xác suất sao cho cả ba khối đều có học sinh được chọn.
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(S B D)$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ}$.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
$\mathrm{b}$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(S B C)$.
