Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Yên Bái
Kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học Phổ thông tỉnh Yên Bái năm học 2021 – 2022 đã diễn ra vào ngày 28/09/2021. Đề thi gồm 7 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy duy nhất. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tương đương với 3 giờ đồng hồ.
Đề thi này nhằm tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học tại các trường Trung học Phổ thông trên địa bàn tỉnh Yên Bái. Các bài toán được thiết kế với mức độ khó cao, đòi hỏi kiến thức toán học vững vàng cùng với tư duy logic và khả năng tính toán nhanh nhạy. Những học sinh đạt điểm cao nhất sẽ được vinh danh và có cơ hội tham gia các kỳ thi cấp quốc gia hoặc quốc tế.
Việc tổ chức kỳ thi này thể hiện sự quan tâm của ngành Giáo dục và Đào tạo tỉnh Yên Bái đối với việc phát triển tài năng trẻ, đồng thời khuyến khích tinh thần học tập và nghiên cứu Toán học trong cộng đồng học sinh. Đây là một sân chơi lý thú và thử thách trí tuệ đáng giá cho các học sinh yêu thích môn Toán.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Yên Bái
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y=-x-m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $A B=\sqrt{10}$.
2) Cho hàm số $f(x)=\left|x^4-2 x^2+m-1\right|$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0 ; 2]$ bằng 18 .
Câu 2. (2,0 điểm)
Một nhóm học sinh gồm 10 em trong đó có 2 học sinh lớp 11A1, 3 học sinh lớp $12 \mathrm{~A} 2$ và 5 học sinh lớp 12A1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Câu 3. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $\left\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{9 x^2+1}-3 x\right)\left(3 y+\sqrt{9 y^2+1}\right)=1 \\ 3 \sqrt{x+2 y-2}+x \sqrt{x-2 y+6}=10\end{array}\right.$.
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi tâm $O, S A=2 a, B D=\sqrt{3} A C$, mặt bên $S A B$ là tam giác cân tại $A$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm $H$ của đoạn $A O$.
1) Tính thể tích của khối chóp $S . A B C D$.
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $S B$ và $C D$.
