Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Ninh Bình
Trong nỗ lực không ngừng tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình đã tổ chức một kỳ thi đặc biệt dành cho học sinh Trung học Phổ thông trong năm học 2018 – 2019. Kỳ thi này, diễn ra vào ngày 11/09/2018, nhằm mục đích tuyển chọn những học sinh có năng lực vượt trội môn Toán để tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia năm 2019 – một sân chơi lớn, thách thức hơn để các tài năng trẻ thể hiện đẳng cấp của mình.
Đề thi gồm 4 bài toán tự luận, được thiết kế để thách thức và đánh giá khả năng giải quyết vấn đề phức tạp của các thí sinh. Trong khuôn khổ 180 phút, không kể thời gian giao đề, các học sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết các bài toán đa dạng và khó khăn, đòi hỏi tư duy logic, sáng tạo và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Các bài toán được biên soạn với mức độ khó tăng dần, buộc các thí sinh phải vượt qua giới hạn của mình và đạt đến trình độ cao hơn trong việc giải quyết vấn đề. Chỉ những học sinh xuất sắc nhất, những tài năng tiềm năng mới có thể vượt qua thử thách này và giành quyền tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm 2019.
Đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm, giúp các thí sinh có thể tự đánh giá và rút ra bài học kinh nghiệm quý báu cho những lần thi sau. Kỳ thi này không chỉ là một cuộc thi tuyển chọn, mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được khám phá, được thử thách và được định hướng phát triển trong tương lai. Những học sinh đạt điểm cao nhất sẽ được bồi dưỡng và rèn luyện thêm, chuẩn bị cho các kỳ thi cấp cao hơn, mở ra cánh cửa cho một tương lai rực rỡ trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Ninh Bình
Câu 1 ( 6,0 điểm).
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(x-y)\left(x^2+x y+y^2-2\right)=2 \ln \frac{y+\sqrt{y^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ 3^x .2 x=3^y+2 y+1\end{array}\right.$.
Câu 2 (4,0 điểm).
Xét sự hội tụ của dãy số $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)$ biết $\mathrm{x}_0=2, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\frac{2}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}+\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}{ }^2} \quad \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}$.
Câu 3 (6,0 điểm).
Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ nội tiếp đường tròn tâm $\mathrm{O}$. Dựng ra phía ngoài tam giác $\mathrm{ABC}$ các hình bình hành $\mathrm{ABMN}$ và $\mathrm{ACPQ}$ sao cho tam giác $\mathrm{ABN}$ đồng dạng với tam giác $\mathrm{CAP}$. Gọi $G$ là giao điểm của $A Q$ và $B M, H$ là giao điểm của $A N$ và $\mathrm{CP}$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $\mathrm{GMQ}, \mathrm{HNP}$ cắt nhau tại $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$ ( $\mathrm{E}$ nằm trong đường tròn $(\mathrm{O})$ ).
a) Chứng minh rằng ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng bốn điểm $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{O}, \mathrm{E}$ cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4 (4,0 điểm).
Bạn Thanh viết lên bảng các số $1,2,3, \ldots, 2019$. Mỗi một bước Thanh xóa hai số $\mathrm{a}$ và $\mathrm{b}$ bất kỳ trên bảng và viết thêm số $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+1}$. Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số $\frac{1}{2019}$.
