Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Hà Nội
Vào một buổi sáng đầu đông, khi không khí se lạnh đang bao trùm thủ đô Hà Nội, một sự kiện quan trọng đã diễn ra tại Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố. Đó là kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 THPT năm học 2021 – 2022, được tổ chức vào ngày 23 tháng 12 năm 2021.
Đề thi năm nay gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thách thức các học sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Thời gian làm bài kéo dài trong 180 phút, đủ để các tài năng trẻ thể hiện sự thông minh, kiên trì và sáng tạo của mình.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh giỏi toán thể hiện năng lực, mà còn là cơ hội để họ được ghi nhận và khích lệ tiếp tục phát triển niềm đam mê với môn học này. Những thành tích xuất sắc sẽ là động lực lớn cho các em tiếp tục nỗ lực, chuẩn bị cho những thử thách mới trong tương lai.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Hà Nội
Câu I (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi $m \neq 2$ hàm số $y=\left|\frac{x^2+m x-1}{x^2+2 x+3}\right|$ có đúng 4 điểm cực trị.
Câu II (5 điểm)
1) Giải phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{3 x}=\sqrt{2 x+2}+\sqrt{2 x-1}$.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2-5 x+4+4 \sqrt{x-1}=y^2-3 y+4 \sqrt{y} \\ x^2+y^2=25\end{array}\right.$.
Cầu III(2 điểm)
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có 8 chữ số. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 9 và chứa nhiều nhất một chữ số 9 .
Câu IV (3 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=3 ; u_{n+1}=\frac{3 u_n+1}{u_n+3} ; n=1,2,3, \ldots$
1) Chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.
2) Tính tổng $S=\frac{1}{u_1-1}+\frac{1}{u_2-1}+\ldots+\frac{1}{u_{100}-1}$.
