Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội
Trong một buổi sáng tháng 9 đầy nắng vàng, thành phố Hà Nội chứng kiến một sự kiện quan trọng dành cho các tài năng trẻ. Ngày 29/09/2020, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán dành cho khối 12 THPT năm học 2020 – 2021. Đây là một sân chơi trí tuệ đáng mong đợi, nơi các học sinh xuất sắc có cơ hội thể hiện tài năng và nỗ lực của mình.
Đề thi năm nay gồm 6 bài toán tự luận, được thiết kế trong vòng 180 phút căng thẳng. Tuy nhiên, theo đánh giá của các thầy cô giáo và học sinh, đề thi không quá khó so với những năm trước, mang đến một thử thách vừa sức cho các tài năng trẻ. Điều này phản ánh sự cân bằng và công bằng trong việc đánh giá năng lực của các thí sinh.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi không chỉ là một cuộc tranh tài về kiến thức, mà còn là nơi khơi dậy niềm đam mê học tập và khát vọng vươn lên của thế hệ tương lai. Những tài năng trẻ này sẽ là những viên gạch quan trọng trong việc xây dựng một tương lai tốt đẹp hơn cho đất nước.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số $y=x^3-\frac{3}{2} m x^2+m^3$ có đồ thị $\left(C_m\right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho tam giác $A B O$ có diện tích bằng 32 (với $O$ là gốc tọa độ).
Bài II (6 điểm)
1) Giải phương trình $x^3+1=\sqrt{4 x-3}+\sqrt{2 x-1}$.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}y^3+y=x^2+2 \\ 8 y^3-3 y=2 x^2-\sqrt[3]{2 x^2+y+7}+7\end{array}\right.$
Bài III (2 điểm)
Cho đa giác đều 30 đỉnh $A_1 A_2 \ldots A_{30}$. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm $A_1, A_2, \ldots, A_{30}$ đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác.
Bài IV (3 điểm)
Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh bằng 1 . Gọi $M, N$ là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh $A B, A^{\prime} D^{\prime}$ sao cho đường thẳng $M N$ tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc bằng $60^{\circ}$.
1) Tính độ dài đoạn thẳng $M N$.
2) Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng $M N$ và $C C^{\prime}$.
