Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nam
Vào một ngày đáng nhớ trong tháng 9 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam đã tổ chức một sự kiện quan trọng – kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán. Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là nơi tuyển chọn những tài năng xuất sắc nhất để tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2020 – 2021 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam soạn thảo gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, thang điểm tối đa là 20 điểm, và thời gian làm bài là 180 phút. Các bài toán này được thiết kế để thách thức khả năng tư duy logic, sự sáng tạo, và kiến thức toán học vững chắc của các học sinh.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện tài năng và nỗ lực của mình trong môn Toán. Nó cũng là một bước đệm quan trọng cho những học sinh xuất sắc nhất trong việc chuẩn bị cho kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, nơi họ sẽ có cơ hội giao lưu và cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất trên toàn quốc.
Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nam
Bài 1 (6 điểm).
1. Cho hàm số $f(x)=-x+\sqrt{(a+x)(b+x)}$ trong đó $a, b$ là hai số thực dương khác nhau cho trước.
Chứng minh rằng với mỗi số thực $s \in(0 ; 1)$ đều tồn tại duy nhất số thực dương $x_0$ sao cho $f\left(x_0\right)=\left(\frac{a^s+b^s}{2}\right)^{\frac{1}{s}}$.
2. Xếp 35 học sinh, trong đó có bốn bạn Dũng, Minh, Công, Đoàn thành một hàng ngang. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp hàng, mà trong mỗi cách xếp hàng không có ba bạn nào trong bốn bạn Dũng, Minh, Công, Đoàn đứng ở ba vị trí liên tiếp.
Bài 2 (4 điểm).
Cho hàm số $f(x)=\frac{x^3-3 x^2+3 x+5}{x+1}$
1. Chứng minh đồ thị hàm số có ba điểm cực trị không thẳng hàng.
2. Gọi $A, B, C$ là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính diện tích tam giác $A B C$.
Bài 3 (3 điểm).
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a$ là một số nguyên sao cho $(a, p)=1$.
Chứng minh phương trình $x^2 \equiv a(\bmod p)$ có nghiệm khi và chỉ khi $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1(\bmod p)$
Bài 4 (3 điểm).
Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện
$$
f\left(x^2\right)+4 y^2 \cdot f(y)=\left(f(x-y)+y^2\right) \cdot(f(x+y)+f(y)) \text { với mọi } x, y \in R
$$
